Una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos tiene dos soluciones, llamadas raíces. Estas dos soluciones pueden o no ser distintas, y pueden o no ser reales.
Factorización por inspecciónEditar
Puede ser posible expresar una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 como un producto (px + q)(rx + s) = 0. En algunos casos, es posible, por simple inspección, determinar los valores de p, q, r y s que hacen las dos formas equivalentes entre sí. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la «propiedad del factor cero» establece que la ecuación cuadrática se satisface si px + q = 0 o rx + s = 0. La resolución de estas dos ecuaciones lineales proporciona las raíces de la cuadrática.
Para la mayoría de los estudiantes, la factorización por inspección es el primer método de resolución de ecuaciones cuadráticas al que están expuestos.:202-207 Si se da una ecuación cuadrática de la forma x2 + bx + c = 0, la factorización buscada tiene la forma (x + q)(x + s), y hay que encontrar dos números q y s que sumen b y cuyo producto sea c (esto se llama a veces «regla de Vieta» y está relacionado con las fórmulas de Vieta). Como ejemplo, x2 + 5x + 6 es el factor (x + 3)(x + 2). El caso más general en el que a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable de ensayo y error de adivinación y comprobación, suponiendo que se pueda factorizar por inspección.
Salvo casos especiales como cuando b = 0 o c = 0, la factorización por inspección sólo funciona para las ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de las ecuaciones cuadráticas que surgen en las aplicaciones prácticas no pueden resolverse mediante la factorización por inspección.
Completar el cuadradoEditar
El proceso de completar el cuadrado hace uso de la identidad algebraica
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
que representa un algoritmo bien definido que puede utilizarse para resolver cualquier ecuación cuadrática.:207 Partiendo de una ecuación cuadrática en forma estándar, ax2 + bx + c = 0
- Divide cada lado por a, el coeficiente del término al cuadrado.
- Resta el término constante c/a de ambos lados.
- Añade el cuadrado de la mitad de b/a, el coeficiente de x, a ambos lados. Esto «completa el cuadrado», convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto.
- Escribe el lado izquierdo como un cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario.
- Produce dos ecuaciones lineales igualando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positiva y negativa del lado derecho.
- Resuelve cada una de las dos ecuaciones lineales.
Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\Nx^{2}+2x-2=0}.
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\N- x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\N- x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\\N-izquierda(x+1\a la derecha)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\\Nx+1=\pm {\sqrt {3}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\Nx=-1\pm {\sqrt {3}}
El símbolo más-menos «±» indica que tanto x = -1 + √3 como x = -1 – √3 son soluciones de la ecuación cuadrática.
Fórmula cuadrática y su derivaciónEditar
El completamiento del cuadrado puede utilizarse para derivar una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, llamada fórmula cuadrática. A continuación se resumirá brevemente la demostración matemática. Se puede ver fácilmente, por expansión polinómica, que la siguiente ecuación es equivalente a la ecuación cuadrática:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{frac {b}{2a}\right)^{2}={frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}.}
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados, y aislando x, se obtiene:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}.}
Algunas fuentes, especialmente las más antiguas, utilizan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática como ax2 + 2bx + c = 0 o ax2 – 2bx + c = 0 , donde b tiene una magnitud la mitad de la más común, posiblemente con signo contrario. Éstas resultan en formas ligeramente diferentes para la solución, pero por lo demás son equivalentes.
En la literatura se pueden encontrar varias derivaciones alternativas. Estas pruebas son más sencillas que el método estándar de completar el cuadrado, representan aplicaciones interesantes de otras técnicas de uso frecuente en el álgebra, u ofrecen una visión de otras áreas de las matemáticas.
Una fórmula cuadrática menos conocida, como la utilizada en el método de Muller proporciona las mismas raíces a través de la ecuación
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Esto puede deducirse de la fórmula cuadrática estándar mediante las fórmulas de Vieta, que afirman que el producto de las raíces es c/a.
Una propiedad de esta forma es que arroja una raíz válida cuando a = 0, mientras que la otra raíz contiene la división por cero, porque cuando a = 0, la ecuación cuadrática se convierte en una ecuación lineal, que tiene una raíz. Por el contrario, en este caso, la fórmula más común tiene una división por cero para una raíz y una forma indeterminada 0/0 para la otra raíz. Por otro lado, cuando c = 0, la fórmula más común da dos raíces correctas mientras que esta forma da la raíz cero y una forma indeterminada 0/0.
Ecuación cuadrática reducidaEditar
A veces es conveniente reducir una ecuación cuadrática para que su coeficiente principal sea uno. Esto se hace dividiendo ambos lados por a, lo que siempre es posible ya que a es distinto de cero. Esto produce la ecuación cuadrática reducida:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
donde p = b/a y q = c/a. Esta ecuación mónica tiene las mismas soluciones que la original.
La fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación cuadrática reducida, escrita en términos de sus coeficientes, es:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={frac {1}{2}}left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}\right),}
o de forma equivalente:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{frac {p}{2}pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}\right)^{2}-q}.}
DiscriminantEdit
En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el signo de la raíz cuadrada se denomina discriminante de la ecuación cuadrática, y suele representarse utilizando una D mayúscula o un delta griego mayúsculo:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso el discriminante determina el número y la naturaleza de las raíces. Hay tres casos:
- Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas
– b + Δ 2 a y – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{cuadrado {\Delta }}{2a}}cuadra {\texto{y}cuadra {\frac {-b-{cuadrado {\Delta }}{2a},}
ambas son números reales. Para las ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales, si el discriminante es un número cuadrado, entonces las raíces son racionales-en otros casos pueden ser irracionales cuadráticas.
- Si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real
– b 2 a , {{displaystyle -{frac {b}{2a}},}
a veces llamada raíz repetida o doble.
- Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos raíces complejas distintas (no reales)
– b 2 a + i – Δ 2 a y – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{frac {b}{2a}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a} {\text{y} {cuadrado -{frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a},}
que son complejos conjugados entre sí. En estas expresiones i es la unidad imaginaria.
Así, las raíces son distintas si y sólo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y sólo si el discriminante es no negativo.
Interpretación geométricaEditar
- Raíces e intersección de y en rojo
- Vértice y eje de simetría en azul
- Foco y directriz en rosa
La función f(x) = ax2 + bx + c es una función cuadrática. La gráfica de cualquier función cuadrática tiene la misma forma general, que se llama parábola. La ubicación y el tamaño de la parábola, así como su apertura, dependen de los valores de a, b y c. Como se muestra en la figura 1, si a > 0, la parábola tiene un punto mínimo y se abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola tiene un punto máximo y se abre hacia abajo. El punto extremo de la parábola, ya sea mínimo o máximo, corresponde a su vértice. La coordenada x del vértice estará situada en x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={tfrac {-b}{2a}}
, y la coordenada y del vértice puede encontrarse sustituyendo este valor x en la función. La intersección y se encuentra en el punto (0, c).
Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 corresponden a las raíces de la función f(x) = ax2 + bx + c, ya que son los valores de x para los que f(x) = 0. Como se muestra en la figura 2, si a, b y c son números reales y el dominio de f es el conjunto de los números reales, entonces las raíces de f son exactamente las coordenadas x de los puntos donde la gráfica toca el eje x. Como se muestra en la figura 3, si el discriminante es positivo, la gráfica toca el eje x en dos puntos; si es cero, la gráfica toca en un punto; y si es negativo, la gráfica no toca el eje x.
Factorización cuadráticaEditar
El término
x – r {\displaystyle x-r}
es un factor del polinomio
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
si y sólo si r es una raíz de la ecuación cuadrática
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
De la fórmula cuadrática se deduce que
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=aft(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}\right).}
En el caso especial b2 = 4ac donde la cuadrática tiene una sola raíz distinta (es decir, el discriminante es cero), el polinomio cuadrático se puede factorizar como
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Solución gráficaEditar
Las soluciones de la ecuación cuadrática
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
se pueden deducir de la gráfica de la función cuadrática
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
que es una parábola.
Si la parábola corta el eje x en dos puntos, hay dos raíces reales, que son las coordenadas x de estos dos puntos (también llamadas intersección x).
Si la parábola es tangente al eje x, hay una raíz doble, que es la coordenada x del punto de contacto entre la gráfica y la parábola.
Si la parábola no interseca el eje x, hay dos raíces complejas conjugadas. Aunque estas raíces no se pueden visualizar en la gráfica, sus partes real e imaginaria sí.
Sea h y k respectivamente la coordenada x y la coordenada y del vértice de la parábola (es decir, el punto con coordenada y máxima o mínima. La función cuadrática puede reescribirse
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Sea d la distancia entre el punto de coordenada y 2k en el eje de la parábola, y un punto de la parábola con la misma coordenada y (véase la figura; hay dos de estos puntos, que dan la misma distancia, debido a la simetría de la parábola). Entonces la parte real de las raíces es h, y su parte imaginaria es ±d. Es decir, las raíces son
h + i d y x – i d , {\displaystyle h+id\\\quad {\text{y}\quad x-id,}
o en el caso del ejemplo de la figura
5 + 3 i y 5 – 3 i . {\a6269>
Displaystyle 5+3i{\a6269} {texto{\a6269}} {cuadrado 5-3i.}
Evitar la pérdida de significaciónEditar
Aunque la fórmula cuadrática proporciona una solución exacta, el resultado no es exacto si se aproximan los números reales durante el cálculo, como es habitual en el análisis numérico, donde los números reales se aproximan por números de coma flotante (llamados «reales» en muchos lenguajes de programación). En este contexto, la fórmula cuadrática no es completamente estable.
Esto ocurre cuando las raíces tienen distinto orden de magnitud o, lo que es lo mismo, cuando b2 y b2 – 4ac están próximas en magnitud. En este caso, la resta de dos números casi iguales provocará la pérdida de significación o la cancelación catastrófica en la raíz más pequeña. Para evitar esto, la raíz que es más pequeña en magnitud, r, se puede calcular como ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}
donde R es la raíz que es mayor en magnitud.
Una segunda forma de cancelación puede ocurrir entre los términos b2 y 4ac del discriminante, es decir, cuando las dos raíces están muy cerca. Esto puede llevar a la pérdida de hasta la mitad de las cifras significativas correctas en las raíces.