Lukujen tutkiminen tulee yleensä peräkkäin. Lapset aloittavat laskennallisista luvuista. Siirrytään negatiivisiin kokonaislukuihin ja murtolukuihin. Kaivautuvat desimaalimurtolukuihin ja jatkavat joskus reaalilukuihin. Kompleksiluvut tulevat viimeisenä, jos ollenkaan. Jokaisella lukujen käsitteen laajentumisella on pätevä käytännön selitys.

Negatiivisia lukuja tarvittiin ratkaisemaan a + x = b, vaikka a > b. Murtoluvut auttoivat ratkaisemaan ax = b, kun b ei ollut jaollinen a:lla. Reaalilukujen olemassaolon oivaltaminen oli vastaus tarpeeseen ratkaista x² = 2. Ja lopulta kompleksiluvut tulivat, kun matematiikan kehitys johti käsittämättömään yhtälöön x² = -1. Kaikki aikanaan.

Historiallinen todellisuus oli aivan liian erilainen. Niin oudolta ja epäloogiselta kuin se saattaakin kuulostaa, kompleksilukujen kehitys ja hyväksyminen eteni rinnakkain negatiivisten lukujen kehityksen ja hyväksymisen kanssa.

Negatiivisten lukujen neliöjuuret ilmestyivät Girolamo Cardanon Ars Magna -teoksessa (1545), jossa Girolamo Cardano pohdiskeli useita kvadraattisten yhtälöiden muotoja (esim. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) vain välttääkseen negatiivisten lukujen käyttöä. Mikä tuskin on yllättävää, kun otetaan huomioon, että Cardanon käyttämiä työkaluja kuvataan yleensä geometriseksi algebraksi. Tämä on vielä esimerkiksi Eukleideen II.5 ja II.6, Al-Khowarizmin ja monien muiden perinnettä. Algebrallinen symboliikka oli vielä kehittymässä ja hankalaa, ja todistukset ovat olleet geometrisia.

Cardanon sisäinen ristiriita on käsin kosketeltavissa hänen kirjoituksissaan. Hän käsittelee ongelmaa, jota nykyään kuvailtaisiin kvadraattisen yhtälön x² – 10x + 40 = 0 ratkaisuksi:

Väärän kannan toinen tyyppi hyödyntää negatiivisten lukujen juuria. Annan esimerkin: Jos joku sanoo sinulle: Jaa 10 kahteen osaan, joista toinen kerrottuna toisella tuottaa 30 tai 40, on selvää, että tämä tapaus tai kysymys on mahdoton. Siitä huolimatta ratkaisemme sen tällä tavalla.”

Joko nerouden tai uteliaisuuden ajamana Cardano jatkaa mahdottoman kysymyksen ratkaisemista! Kun algebralliset manipulaatiot johtavat negatiivisen luvun neliöjuureen, Cardano kirjoittaa:

… Tämä on kuitenkin lähimpänä sitä määrää, joka on todella kuvitteellinen, koska sillä ei voi suorittaa operaatioita kuten puhtaalla negatiivisella luvulla eikä muillakaan luvuilla. … Tämä hienovaraisuus johtuu aritmetiikasta, josta tämä viimeinen kohta on, kuten sanoin, yhtä hienovarainen kuin hyödytönkin.”

Seuraavan askeleen kompleksilukujen omaksumisessa on ottanut Rafael Bombelli teoksessaan Algebra (1572). Hän viihtyi huomattavasti paremmin negatiivisten lukujen parissa ja lausui merkkisten suureiden käsittelysäännöt:

Plus kertaa plus tekee plus
Miinus kertaa miinus tekee plus
Plus kertaa miinus tekee miinus
Miinus kertaa plus tekee miinus.

Kompleksilukujen suhteen hän kirjoitti

… Tällaisella neliöjuurella on erilaiset aritmeettiset operaatiot kuin muilla ja erilainen nimitys, … Mutta minä kutsun sitä ’miinuksen plussaksi’, kun se on lisättävä, ja kun se on vähennettävä, minä kutsun sitä ’miinuksen miinukseksi’, ja tämä operaatio on mitä tarpeellisinta. … Tämä vaikuttaa monista enemmän keinotekoiselta kuin todelliselta, ja olin itsekin samaa mieltä, kunnes löysin geometrisen osoituksen …

Sitten hän esittää kertolaskusäännöt:

Miinuksen plussa kertaa miinuksen plussa tekee miinuksen
Miinuksen plussa kertaa miinuksen miinus tekee plussaa
Miinuksen miinus kertaa miinuksen plussa tekee plussaa
Miinuksen miinus kertaa miinuksen miinus tekee miinuksen.

Mutta ratkaistessaan kuutioyhtälöitä, joissa oli kolme reaalijuurta, hän jätti negatiiviset juuret pois , eikä silti pitänyt negatiivisia juuria ratkaisuna.

John Wallis (1616-1703), joka antoi kompleksilukujen ensimmäisen geometrisen tulkinnan, piti omituista uskomusta, jonka mukaan negatiiviset luvut olivat ääretöntä suurempia, mutta eivät pienempiä kuin 0 . Tämän uskomuksen jakoi L. Euler. Euler, joka käytti laajasti kompleksilukuja, otti käyttöön i:n √-1:n symbolina ja yhdisti eksponentti- ja trigonometriset funktiot kuuluisaan kaavaan

eit = cos(t) + i-sin(t),

kirjoitti Johdatus algebraan

Koska kaikki ajateltavissa olevat luvut ovat joko suurempia kuin nolla tai pienempiä kuin nolla tai yhtä suuria kuin nolla, on selvää, etteivät negatiivisten lukujen neliöjuuret voi sisältyä mahdolliseen joukkoon . Näin ollen on sanottava, että ne ovat mahdottomia lukuja. Ja tämä seikka johtaa meidät sellaisten lukujen käsitteeseen, jotka ovat luonteeltaan mahdottomia ja joita tavallisesti kutsutaan mielikuvitusluvuiksi tai kuvitelluiksi luvuiksi, koska ne ovat olemassa vain mielikuvituksessa.

(Muuten, epäonninen termi mielikuvitusluku, jolla on täsmälleen tällainen mielleyhtymä, on Descartesin keksimä. Hän kutsui myös yhtälön negatiivisia juuria vääriksi, mikä ei onneksi jäänyt kiinni). Jean Le Rond d’Alembert sivuutti Encyclopédie -teoksessaan (1751 – 1772) kompleksiluvut kokonaan ja kirjoitti epäselvästi negatiivisista luvuista

… negatiivisilla luvuilla operoimisen algebralliset säännöt ovat yleisesti kaikkien myöntämiä ja täsmällisiksi tunnustamia, olipa meillä millainen käsitys tahansa kyseisistä suureista.

Nykyaikaisen geometrisen tulkinnan kompleksiluvuille esitti norjalainen maanmittausteknikko Caspar Wessel (1745 – 1818) vuonna 1797. Hänen teoksensa pysyi käytännössä tuntemattomana, kunnes ranskalainen käännös ilmestyi vuonna 1897. Hän havaitsi oikein, että kompleksilukuja varten on luovuttava kahden suunnan linjasta :

Wessel käsittelee kompleksilukuja vektoreina (käyttämättä termiä) ja johtaa suurimman osan niiden ominaisuuksista, mukaan lukien vaikkapa trigonometrisen kertolaskun, nimeämättä jälkimmäistä algebralliseksi.

Gauss, joka antoi todisteen algebran perusteoreemasta vuonna 1799, ajatteli (1825), että ”√-1:n todellinen metafysiikka on harhaa”. Hän voitti epäilyksensä vuoteen 1831 mennessä soveltamalla kompleksilukuja numeroteoriaan, mikä antoi valtavan sysäyksen kompleksilukujen hyväksymiselle matemaattisessa yhteisössä. Hyväksyntä ei silti ollut yleistä. Augustus De Morgan (1806-1871), kuuluisa matemaatikko ja loogikko, kirjoitti vuonna 1831 :

Kuvitteellisella lausekkeella √-a ja negatiivisella lausekkeella -b on sellainen samankaltaisuus, että jommankumman esiintyminen jonkin ongelman ratkaisuna osoittaa jonkinlaista epäjohdonmukaisuutta tai mielettömyyttä. Todellisen merkityksen kannalta molemmat ovat yhtä lailla mielikuvituksellisia, sillä 0 – a on yhtä käsittämätön kuin √-a.

Sir William Hamilton, 9. vapaaherra (1805-1865) on vastuussa abstraktista merkintätavasta (x, y) , jonka hän otti käyttöön vuonna 1833. Tämä ei tietenkään ollut vielä viimeinen sana kompleksilukuja koskevan ymmärryksemme kehityksessä. Kompleksiluvut voidaan nähdä Hamiltonin abstraktioina, joko pisteinä tai vektoreina tasossa, vektorioperaattoreina ja siten tietyn muotoisina matriiseina. Ne toimivat perustana tehokkaalle ja kauniille analyyttiselle funktioteorialle, jolla on sovelluksia hydrodynamiikasta numeroteoriaan. Tie hyväksyntään on saattanut olla kuoppainen, mutta kompleksilukujen tärkeää roolia modernissa matematiikassa ei voi yliarvioida. Kuten J. Hadamard on sanonut ,

Lyhin tie kahden totuuden välillä reaalialueella kulkee kompleksialueen kautta.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deduktiivinen narratiivi ja uskon epistemologinen tehtävä matematiikassa: On Bombelli and Imaginary Numbers, teoksessa Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (toim.), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. Swetz, Viidestä sormesta äärettömyyteen, Open Court, 1996 (3. painos)

Kompleksiluvut

1. Kompleksilukujen algebrallinen rakenne
2. Kompleksilukujen jakaminen
3. Kompleksilukujen käyttökelpoiset identiteetit
4. Kompleksilukujen käyttökelpoiset epäyhtälöt
5. Kompleksilukujen trigonometrinen muoto
6. Reaali- ja kompleksiluvut. Kompleksilukujen tuotteet
7. Kompleksiluvut ja geometria
   • Keski- ja kirjatut kulmat kompleksiluvuissa
8. Tasojen isometriat kompleksisina funktioina
9. Huomioita kompleksilukujen historiasta
   • Ensimmäinen negatiivisten ja kompleksisten lukujen geometrinen tulkinta
10. Kompleksiluvut: an Interactive Gizmo
11. Kartesiolainen koordinaatisto
12. Algebran perustava lause
13. Kompleksiluku kompleksiseen potenssiin voi olla reaalinen
14. Kahta kompleksilukua ei voi verrata toisiinsa
15. Riemannin pallo ja Möbius-transformaatio
16. Ongelmat
    • Liukulukujen diagonaalien tulo säännönmukaisissa N-gon
    • Yksikön N:nnen juuren summa
    • Napoleonin sukulaisluvut
    • Ortokeskipisteen ja kehäkeskipisteen välinen etäisyys
    • Kaksi kylkikolmion ominaisuutta – Todistus kompleksilukujen avulla
    • Keskipisteen vastavuoroisuus Napoleonin konfiguraatiossa
    • Orthokeskipiste kompleksisessa tasossa

|Yhteys|||Etusivu|||Sisältö||Algebra|