Un’equazione quadratica con coefficienti reali o complessi ha due soluzioni, chiamate radici. Queste due soluzioni possono essere distinte o meno, e possono essere reali o meno.
Factoring by inspectionEdit
Può essere possibile esprimere un’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 come un prodotto (px + q)(rx + s) = 0. In alcuni casi, è possibile, con una semplice ispezione, determinare i valori di p, q, r e s che rendono le due forme equivalenti l’una all’altra. Se l’equazione quadratica è scritta nella seconda forma, allora la “proprietà del fattore zero” afferma che l’equazione quadratica è soddisfatta se px + q = 0 o rx + s = 0. Risolvere queste due equazioni lineari fornisce le radici della quadratica.
Per la maggior parte degli studenti, la fattorizzazione per ispezione è il primo metodo di risoluzione delle equazioni quadratiche a cui sono esposti.:202-207 Se si dà un’equazione quadratica nella forma x2 + bx + c = 0, la fattorizzazione cercata ha la forma (x + q)(x + s), e si devono trovare due numeri q e s che si sommano a b e il cui prodotto è c (questo è talvolta chiamato “regola di Vieta” ed è collegato alle formule di Vieta). Come esempio, x2 + 5x + 6 fattorizza come (x + 3)(x + 2). Il caso più generale in cui a non è uguale a 1 può richiedere uno sforzo considerevole per tentativi ed errori, supponendo che possa essere fattorizzato per ispezione.
Ad eccezione di casi speciali come quelli in cui b = 0 o c = 0, la fattorizzazione per ispezione funziona solo per equazioni quadratiche che hanno radici razionali. Questo significa che la grande maggioranza delle equazioni quadratiche che si presentano nelle applicazioni pratiche non possono essere risolte con la fattorizzazione per ispezione.:207
Completamento del quadratoModifica
Il processo di completamento del quadrato fa uso dell’identità algebrica
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
che rappresenta un algoritmo ben definito che può essere usato per risolvere qualsiasi equazione quadratica.:207 Partendo da un’equazione quadratica in forma standard, ax2 + bx + c = 0
- Dividere ogni lato per a, il coefficiente del termine al quadrato.
- Sottrarre il termine costante c/a da entrambi i lati.
- Aggiungere il quadrato della metà di b/a, il coefficiente di x, a entrambi i lati. Questo “completa il quadrato”, convertendo il lato sinistro in un quadrato perfetto.
- Scrivere il lato sinistro come un quadrato e semplificare il lato destro se necessario.
- Produrre due equazioni lineari equiparando la radice quadrata del lato sinistro alle radici quadrate positive e negative del lato destro.
- Solvere ciascuna delle due equazioni lineari.
Illustriamo l’uso di questo algoritmo risolvendo 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\sinistra(x+1\destra)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}
Il simbolo più-meno “±” indica che sia x = -1 + √3 che x = -1 – √3 sono soluzioni dell’equazione quadratica.
Formula quadratica e sua derivazioneModifica
Il completamento del quadrato può essere usato per derivare una formula generale per la soluzione delle equazioni quadratiche, chiamata formula quadratica. La dimostrazione matematica sarà ora brevemente riassunta. Si può facilmente vedere, mediante espansione polinomiale, che la seguente equazione è equivalente all’equazione quadratica:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{frac {b}{2a}}}right)^{2}={frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}.
Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati, e isolando x, si ottiene:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {displaystyle x={\frac {-b\pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}.
Alcune fonti, in particolare quelle più vecchie, usano parametrizzazioni alternative dell’equazione quadratica come ax2 + 2bx + c = 0 o ax2 – 2bx + c = 0 , dove b ha una grandezza pari alla metà di quella più comune, eventualmente con segno opposto. Questi risultano in forme leggermente diverse per la soluzione, ma sono altrimenti equivalenti.
In letteratura si possono trovare diverse derivazioni alternative. Queste dimostrazioni sono più semplici del metodo standard di completamento del quadrato, rappresentano interessanti applicazioni di altre tecniche frequentemente usate in algebra, o offrono approfondimenti in altre aree della matematica.
Una formula quadratica meno conosciuta, come quella usata nel metodo di Muller fornisce le stesse radici attraverso l’equazione
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {displaystyle x={frac {2c}{-b\pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Questo può essere dedotto dalla formula quadratica standard dalle formule di Vieta, che affermano che il prodotto delle radici è c/a.
Una proprietà di questa forma è che produce una radice valida quando a = 0, mentre l’altra radice contiene la divisione per zero, perché quando a = 0, l’equazione quadratica diventa un’equazione lineare, che ha una sola radice. Al contrario, in questo caso, la formula più comune ha una divisione per zero per una radice e una forma indeterminata 0/0 per l’altra radice. D’altra parte, quando c = 0, la formula più comune produce due radici corrette mentre questa forma produce la radice zero e una forma indeterminata 0/0.
Equazione quadratica ridottaModifica
A volte è conveniente ridurre un’equazione quadratica in modo che il suo coefficiente principale sia uno. Questo viene fatto dividendo entrambi i lati per a, che è sempre possibile poiché a non è zero. Questo produce l’equazione quadratica ridotta:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
dove p = b/a e q = c/a. Questa equazione monica ha le stesse soluzioni dell’originale.
La formula quadratica per le soluzioni dell’equazione quadratica ridotta, scritta in termini dei suoi coefficienti, è:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {displaystyle x={frac {1}{2}} a sinistra(-p\pm {sqrt {p^{2}-4q}} a destra),}
o equivalentemente:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {displaystyle x=-{frac {p}{2}}}pm {sqrt {{sinistra({frac {p}{2}} destra)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
Nella formula quadratica, l’espressione sotto il segno della radice quadrata è chiamata il discriminante dell’equazione quadratica, ed è spesso rappresentata usando una D maiuscola o un delta greco maiuscolo:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Un’equazione quadratica con coefficienti reali può avere una o due radici reali distinte, oppure due radici complesse distinte. In questo caso il discriminante determina il numero e la natura delle radici. Ci sono tre casi:
- Se il discriminante è positivo, allora ci sono due radici distinte
– b + Δ 2 a e – b – Δ 2 a , {entrambi sono numeri reali. Per le equazioni quadratiche con coefficienti razionali, se il discriminante è un numero quadrato, allora le radici sono razionali – in altri casi possono essere irrazionali quadratiche.
- Se il discriminante è zero, allora c’è esattamente una radice reale
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
talvolta chiamata radice ripetuta o doppia.
- Se il discriminante è negativo, allora non ci sono radici reali. Piuttosto, ci sono due distinte radici complesse (non reali)
– b 2 a + i – Δ 2 a e – b 2 a – i – Δ 2 a , {che sono coniugate complesse l’una dell’altra. In queste espressioni i è l’unità immaginaria.
Quindi le radici sono distinte se e solo se il discriminante non è zero, e le radici sono reali se e solo se il discriminante non è negativo.
Interpretazione geometricaModifica
- Rotori e intercetta y in rosso
- Verticolo e asse di simmetria in blu
- Fuoco e direttrice in rosa
La funzione f(x) = ax2 + bx + c è una funzione quadratica. Il grafico di qualsiasi funzione quadratica ha la stessa forma generale, che è chiamata parabola. La posizione e la dimensione della parabola, e come si apre, dipendono dai valori di a, b e c. Come mostrato nella figura 1, se a > 0, la parabola ha un punto di minimo e si apre verso l’alto. Se a < 0, la parabola ha un punto di massimo e si apre verso il basso. Il punto estremo della parabola, che sia minimo o massimo, corrisponde al suo vertice. La coordinata x del vertice si troverà in x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={tfrac {-b}{2a}}}
, e la coordinata y del vertice può essere trovata sostituendo questo valore di x nella funzione. L’intercetta y si trova nel punto (0, c).
Le soluzioni dell’equazione quadratica ax2 + bx + c = 0 corrispondono alle radici della funzione f(x) = ax2 + bx + c, poiché sono i valori di x per cui f(x) = 0. Come mostrato nella figura 2, se a, b e c sono numeri reali e il dominio di f è l’insieme dei numeri reali, allora le radici di f sono esattamente le coordinate x dei punti in cui il grafico tocca l’asse x. Come mostrato nella figura 3, se il discriminante è positivo, il grafico tocca l’asse x in due punti; se è zero, il grafico tocca un punto; e se è negativo, il grafico non tocca l’asse x.
Fattorizzazione quadraticaModifica
Il termine
x – r {\displaystyle x-r}
è un fattore del polinomio
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
se e solo se r è una radice dell’equazione quadratica
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Dalla formula quadratica segue che
a x 2 + b x + c = a ( x – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\sinistra(x-{frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}destra)\sinistra(x-{frac {-b-{sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}destra).}
Nel caso speciale b2 = 4ac dove la quadratica ha una sola radice distinta (cioè il discriminante è zero), il polinomio quadratico può essere fattorizzato come
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Soluzione graficaEdit
Le soluzioni dell’equazione quadratica
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
possono essere dedotte dal grafico della funzione quadratica
y = a x 2 + b x + c , {displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
che è una parabola.
Se la parabola interseca l’asse x in due punti, ci sono due radici reali, che sono le coordinate x di questi due punti (chiamate anche intercetta x).
Se la parabola è tangente all’asse x, c’è una radice doppia, che è la coordinata x del punto di contatto tra il grafico e la parabola.
Se la parabola non interseca l’asse x, ci sono due radici coniugate complesse. Anche se queste radici non possono essere visualizzate sul grafico, le loro parti reali e immaginarie possono esserlo.
Sia h e k rispettivamente le coordinate x e y del vertice della parabola (cioè il punto con coordinata y massima o minima. La funzione quadratica può essere riscritta
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Lascia che d sia la distanza tra il punto di coordinata y 2k sull’asse della parabola, e un punto sulla parabola con la stessa coordinata y (vedi la figura; ci sono due tali punti, che danno la stessa distanza, a causa della simmetria della parabola). Allora la parte reale delle radici è h, e la loro parte immaginaria è ±d. Cioè, le radici sono
h + i d e x – i d , {\displaystyle h+id\quadro {\text{e}quadro x-id,}
o nel caso dell’esempio della figura
5 + 3 i e 5 – 3 i . {displaystyle 5+3i\quadro {testo{e}quadro 5-3i.}
Evitare la perdita di significatoModifica
Anche se la formula quadratica fornisce una soluzione esatta, il risultato non è esatto se i numeri reali sono approssimati durante il calcolo, come di solito nell’analisi numerica, dove i numeri reali sono approssimati da numeri in virgola mobile (chiamati “reali” in molti linguaggi di programmazione). In questo contesto, la formula quadratica non è completamente stabile.
Si verifica quando le radici hanno diverso ordine di grandezza, o, equivalentemente, quando b2 e b2 – 4ac sono vicini in grandezza. In questo caso, la sottrazione di due numeri quasi uguali causerà una perdita di significato o una cancellazione catastrofica nella radice più piccola. Per evitare questo, la radice che è più piccola in grandezza, r, può essere calcolata come ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}
dove R è la radice che è più grande in grandezza.
Una seconda forma di cancellazione può avvenire tra i termini b2 e 4ac del discriminante, cioè quando le due radici sono molto vicine. Questo può portare alla perdita di fino a metà delle cifre significative corrette nelle radici.