図2. 二次関数y = x2 – x – 2について、グラフがx軸と交差する点、x = -1、x = 2は、二次方程式x2 – x – 2 = 0の解となる。

平方完成の過程は、代数的恒等式

x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}

を使っていて、どんな2次方程式を解くに当たってもよく定義されたアルゴリズムと言える。207 標準形式の二次方程式、ax2 + bx + c = 0

1. 両辺を二乗項の係数である a で割る。
2. 両辺から定数項 c/a を引く。
3. 両辺に x の係数 b/a の半分の二乗を足す。 これにより「平方完成」し、左辺を完全平方とする。
4. 左辺を平方として書き、必要なら右辺を単純化する。
5. 左辺の平方根と右辺の正・負の平方根を等化して2つの線形方程式を生成する。
6. 2つの連立方程式をそれぞれ解く。

このアルゴリズムの使用法を、2×2 + 4x – 4 = 0

1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {} x^{2}+2x-2=0} を解くことで説明する。

2 ) x 2 + 2 x = 2 {displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}.

3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 { \ x^{2}+2x+1=2+1}.

4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {displaystyle 4)\left(x+1↩right)^{2}=3}.

5 ) x + 1 = ± 3 {displaystyle 5)\ x+1=pm { syncrt {3}} }.

6 ) x = – 1 ± 3 {displaystyle 6)\ x=-1pm { syncrt {3}} }.

プラスマイナス記号「±」は、x＝-1＋√3とx＝-1-√3の両方が二次方程式の解であることを示す。

二次方程式とその導出編

二乗を完成させることで、二次方程式の解の一般式である二次式が導出できる。 ここでその数学的証明を簡単にまとめておく。 次の式が二次方程式と等価であることは、多項式展開により簡単にわかります：

( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {displaystyle \left(x+{frac {b}{2a}}}right)^{2}={frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.} は2次方程式に相当します。

両辺の平方根をとり、xを分離すると：

x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . { {displaystyle x={frac {-b\pm {}sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.} となります。

いくつかのソース、特に古いソースでは、ax2 + 2bx + c = 0 または ax2 – 2bx + c = 0 のように二次方程式の別のパラメータ化を使用しています。 これらは解の形が若干異なるが、それ以外は等価である。

多くの代替導出が文献に載っている。 これらの証明は、標準的な平方完成法よりも簡単であったり、代数学でよく使われる他のテクニックの興味深い応用であったり、数学の他の分野への洞察を提供するものである。 {x={frac {2c}{-b}pm {sqrt {b^{2}-4ac}}}.}.

これは、根の積がc/aであることを主張するVietaの公式によって、標準の二次式から推論することができます。

この形式の特性の1つは、a=0のときに有効根が1つ得られ、他の根には0による分割が含まれるということで、a=0のときに二次方程式が根が1つの線形方程式となることによります。 これに対して、この場合、より一般的な式では、一方の根が0による除算、もう一方の根が不定形0/0となる。 一方、c=0のとき、より一般的な式では正しい2つの根が得られるのに対し、この形式では0根と不定形0/0が得られる。

2次方程式の縮小編集

2次方程式を縮小して、その先頭係数を1にすると便利なことがあります。 これは両辺をaで割ることによって行われ、aは0ではないので常に可能である。

x 2 + p x + q = 0 , {}displaystyle x^{2}+px+q=0,}

ここでp = b/a と q = c/a である。 この単項式は原式と同じ解を持つ。

縮小した二次方程式の解を係数で書くと、二次方程式式となる。

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {displaystyle x={themefrac {1}{2}}( -ppm {sqrt {p^{2}-4q}}right),}

or equivalently:

x = – p 2 ± ( p 2 )2 – q . x=-{p}{2}pm {}sqrt {}left({}frac {p}{2}}right)^{2}-q}}.} ｛displaystyle x=-{p}{2}pm {}frac {p}{2}}right)^{2}-q}} ｝。

DiscriminantEdit

図3.DiscriminantEditの概要 判別記号

二次式において、平方根記号の下の式を二次方程式の判別式と呼び、大文字のDまたは大文字のギリシャ語のdeltaを用いて表現することが多い：

Δ = b 2 – 4 a c . {displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}.

実数係数の二次方程式は、1つまたは2つの異なる実根、または2つの異なる複素根を持つことができます。 この場合、判別式が根の数と性質を決定する。 3つのケースがあります。

• 判別式が正の場合、2つの異なる根

– b + Δ 2 a と – b – Δ 2 a が存在することになります。 {表示スタイル{frac {-b+{sqrt {Delta }}{2a}} sequad {text{and}}quad {frac {-b-{sqrt {Delta }}{2a}}, }

いずれも実数です。 有理係数の二次方程式の場合、判別式が平方数であれば根は有理となり、それ以外の場合は二次無理数である可能性があります。

• 判別式が0の場合、実根は

– b 2 a 、{displaystyle -{frac {b}{2a}}, }

反復根、二重根と呼ばれることがあります。

• 判別式が負の場合、実根は存在しない。 むしろ、2つの異なる（非実数の）複素根

– b 2 a + i – Δ 2 a と – b 2 a – i – Δ 2 a が存在するのです。 {displaystyle -{frac {b}{2a}+i{frac {sqrt {-Delta }}{2a}} sequad {text{and}}quad -{frac {b}{2a}-i{frac {sqrt {-Delta }}{2a}}, }

これらは互いに複素共役である。 これらの式でiは虚数単位である。

したがって、根は判別式が0でない場合にのみ区別され、根は判別式が非負の場合にのみ実数である。

Geometric interpretationEdit

y = ax2 + bx + c のグラフ、ここで a と判別式 b2 – 4ac は正である。 with

• Roots and y-intercept in red
• Vertex and axis of symmetry in blue
• Focus and directrix in pink

y = ax2 + bx + c の複素根を可視化した図。 放物線は頂点（オレンジ色）を中心に180度回転しています。 x-切片は中点を中心に90°回転し、直交平面は複素平面（緑色）と解釈されます。

関数f(x) = ax2 + bx + cは二次関数である。 どんな二次関数のグラフも大まかな形は同じで、放物線と呼ばれる。 放物線の位置や大きさ、開き方は、a、b、cの値によって決まる。図1に示すように、a＜1968＞0のとき、放物線は最小点を持ち、上向きに開く。 a < 0のとき、放物線は極大点をもち、下向きに開く。 最小でも最大でも放物線の極点はその頂点に対応する。 頂点のx座標は x = – b 2 a {displaystyle \scriptstyle x={Tfrac {-b}{2a}}} に位置することになります。

となり、このx値を関数に代入すると、頂点のy座標が求まることになる。 y切片は点(0, c)にある。

二次方程式ax2 + bx + c = 0の解は、f(x) = ax2 + bx + cという関数の根に相当し、f(x) = 0となるxの値である。図2のように、a、b、cを実数、fの領域を実数の集合とすれば、グラフとx軸の接点のx座標がそのままfの根となる。 図3に示すように、判別式が正ならグラフは2点でx軸に接し、0なら1点で接し、負ならx軸に接しない。

二次関数化編集

The term

x – r {displaystyle x-r} {displaystyle x-r} {displaystyle x-r} {displaystyle x-r} {displaystyle xr} {displaystyle xr} {displaystyle xr} {displaystyle xr} {displaystyle xr} {displaystyle xr

は多項式

a x 2 + b x + c {displaystyle ax^{2}+bx+c} の因数である。

if and only if r is root of the quadratic equation

a x 2 + b x + c = 0.{displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}.

二次式から

a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) となります。 {displaystyle ax^{2}+bx+c=a alleft(x-{3frac {-b+{CASQRT {b^{2}-4ac}}}{2a}}right)\left(x-{3frac {-b-{CASQRT {b^{2}-4ac}}{2a}}right).} ←クリックすると拡大します。｝

2次関数が1つだけ異なるルートを持つ(すなわち判別式がゼロ)特別な場合 b2 = 4ac では、2次多項式は

a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 として因数分解することができます。 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}

グラフィカル解法編集

図4.図4. 2 次方程式 2×2 + 4x – 4 = 0 の 2 つの根のうちの 1 つをグラフ電卓で計算。ディスプレイは有効数字 5 桁の精度しか表示していませんが、取得した xc の値は 0.732050807569 で、有効数字 12 桁の精度です。

実根のない二次関数： y = (x – 5)2 + 9. 3」はx切片の虚数部です。 実部は頂点のx座標。 したがって、根は5±3iです。

2次方程式の解

a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} は、次のようになります。

二次関数

y = a x 2 + b x + c , {displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}

は放物線となるので、グラフから推測することができる。

放物線がx軸と2点で交差する場合、2つの実根が存在し、その2点のx座標（x切片ともいう）である。

放物線がx軸に接する場合、二重根があり、これはグラフと放物線の接点のx座標です。

放物線がx軸に交わらない場合、2つの複素共役根が存在します。 これらの根はグラフ上では見えないが、実部と虚部は見える。

放物線の頂点のx座標とy座標をそれぞれhとkとする（y座標が最大または最小の点である。 二次関数は

y = a ( x – h ) 2 + k と書き換えることができる。 {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}

放物線の軸上のy座標2kの点と、放物線上の同じy座標の点（図参照、放物線は対称なので同じ距離を与える点が2つある）との距離をdとする。 このとき、根の実部は h、虚部は ±d である。 すなわち、根は

h + i d and x – i d , {displaystyle h+id}quad {}text{and}quad x-id,}

または図の例の場合

5 + 3 i and 5 – 3 i …である。 {表示形式 5+3i quad {text{and}quad 5-3i.}} 。

Avoiding loss of significanceEdit

二次式は厳密解を与えるが、数値解析でよくあるように計算中に実数が浮動小数点数（多くのプログラミング言語では「real」と呼ぶ）で近似されると結果は厳密でなくなってしまう。 この文脈では、二次式は完全に安定ではない。

これは、根の大きさの順序が異なる場合、または同等に、b2 と b2 – 4ac が大きさで近い場合に発生する。 この場合、ほぼ等しい2つの数の引き算は、小さい方の根で有意性の喪失または破滅的なキャンセルを引き起こす。 これを避けるために、大きさの小さい方の根、rは ( c / a ) / R {displaystyle (c/a)/R} として計算することができる。

ここで、Rは大きさの大きい方の根である。

判別式の項b2と4acの間には、2つの根が非常に近い場合、第2の形態のキャンセルが発生することがある。 このため、根の有効数字が最大で半分になってしまうことがあります。