A számok tanulmányozása általában egymás után következik. A gyerekek a számoló számokkal kezdik. Áttérnek a negatív egész számokra és a törtekre. Ássanak bele a tizedes törtekbe, és néha folytassák a valós számokig. Az összetett számok jönnek utoljára, ha egyáltalán jönnek. A számok fogalmának minden bővülésének van egy érvényes gyakorlati magyarázata.
Negatív számokra volt szükség a + x = b megoldásához, még akkor is, ha a > b. A törtek segítettek megoldani ax = b-t, amikor b nem osztható a-val. A valós számok létezésének felismerése az x² = 2 megoldásának szükségességére adott válasz volt. És végül a komplex számok akkor jöttek létre, amikor a matematika fejlődése az elképzelhetetlen x² = -1 egyenlethez vezetett. Mindez a maga idejében.
A történelmi valóság túlságosan is más volt. Bármilyen furcsán és logikátlanul hangzik is, a komplex számok fejlődése és elfogadása párhuzamosan haladt a negatív számok fejlődésével és elfogadásával.
A negatív számok négyzetgyökei Girolamo Cardano Ars Magna (1545) című művében jelentek meg, aki a kvadratikus egyenletek számos formáját (pl. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) csak azért vette figyelembe, hogy elkerülje a negatív számok használatát. Ami aligha meglepő annak fényében, hogy a Cardano által használt eszközöket általában geometriai algebrának nevezik. Ez még mindig mondjuk Euklidész II.5. és II.6., Al-Khowarizmi , és sokan mások hagyományában áll. Az algebrai szimbolika még fejlődésben volt és nehézkes, a bizonyítások pedig geometrikusak voltak.
Cardano belső konfliktusa kézzelfogható az írásaiban. Azt a problémát kezeli, amelyet ma úgy írnánk le, mint az x² – 10x + 40 = 0 kvadratikus egyenlet megoldását:
A hamis helyzet második típusa a negatív számok gyökeit használja fel. Mondok egy példát: Ha valaki azt mondja neked, hogy oszd el a 10-et két részre, amelyek közül az egyiket a másikkal megszorozva 30 vagy 40 lesz, akkor nyilvánvaló, hogy ez az eset vagy kérdés lehetetlen. Ennek ellenére így fogjuk megoldani.”
A zsenialitástól vagy a kíváncsiságtól vezérelve Cardano egy lehetetlen kérdés megoldására vállalkozik! Amikor az algebrai manipulációk egy negatív szám négyzetgyökéhez vezetnek, Cardano azt írja:
… Ez áll azonban a legközelebb ahhoz a mennyiséghez, amely valóban képzeletbeli, mivel nem lehet vele műveleteket végezni, mint egy tiszta negatív számmal, sem mint más számokkal. … Ez a finomság az aritmetikából következik, amelynek ez az utolsó pontja, mint mondtam, éppoly finom, mint amennyire haszontalan.”
A következő lépést a komplex számok elfogadásában Rafael Bombelli tette meg Algebrájában (1572). Ő sokkal kényelmesebben bánt a negatív számokkal, és közölte az előjeles mennyiségek kezelésének szabályait:
Plusz szorozva plusszal pluszt tesz
Mínusz szorozva mínusszal pluszt tesz
Plusz szorozva mínusszal mínuszt tesz
Mínusz szorozva plusszal mínuszt tesz.
A komplex számokkal kapcsolatban azt írta:
… Ez a fajta négyzetgyök a többitől eltérő számtani műveletekkel és más elnevezéssel rendelkezik, … De “mínuszok pluszának” fogom nevezni, amikor összeadandó, és amikor kivonandó, “mínuszok mínuszának” fogom nevezni, és ez a művelet a legszükségesebb. … Ez sokaknak inkább mesterségesnek fog tűnni, mint valóságosnak, és magam is ezen a véleményen voltam, amíg meg nem találtam a geometriai bizonyítást …
Ezután megadja a szorzás szabályait:
Mínusz pluszból mínuszszor pluszból mínusz lesz
Mínuszból pluszból mínuszszor mínuszból plusz lesz
Mínuszból mínuszszor mínuszból plusz lesz
Mínuszból mínuszból mínuszból mínusz lesz.
A három valós gyökkel rendelkező kockaegyenletek megoldásakor azonban kihagyta a negatív gyököket , továbbra sem tekintette megoldásnak a negatívokat.
John Wallis (1616-1703), aki a komplex számok legelső geometriai értelmezését adta, furcsa meggyőződése volt, hogy a negatív számok nagyobbak a végtelennél, de nem kisebbek 0-nál. Ezt a meggyőződést L. Euler is osztotta. Euler, aki széles körben használta a komplex számokat, aki bevezette az i-t mint az √-1 jelét, és összekapcsolta az exponenciális és trigonometrikus függvényeket a híres képletben
eit = cos(t) + i-sin(t),
írta Bevezetés az algebrába
Mivel minden elképzelhető szám vagy nagyobb, mint nulla, vagy kisebb, mint 0, vagy egyenlő 0-val, akkor világos, hogy a negatív számok négyzetgyökei nem szerepelhetnek a lehetséges számok között . Következésképpen azt kell mondanunk, hogy ezek lehetetlen számok. És ez a körülmény elvezet bennünket az ilyen számok fogalmához, amelyek természetüknél fogva lehetetlenek, és amelyeket rendszerint képzeletbeli vagy képzelt számoknak neveznek, mert csak a képzeletben léteznek.
(Egyébként a szerencsétlen, pontosan ilyen jelentéssel bíró képzeletbeli kifejezést Descartes alkotta meg. Ő nevezte hamisnak egy egyenlet negatív gyökeit is, ami szerencsére nem ragadt meg). Jean Le Rond d’Alembert Encyclopédie-jában (1751 – 1772) teljesen átsiklott a komplex felett, és kétértelműen írt a negatív számokról
… a negatív számokkal való műveletek algebrai szabályait általában mindenki elismeri és pontosnak ismeri el, bármilyen elképzelésünk is legyen ezekről a mennyiségekről.
A komplex számok modern geometriai értelmezését Caspar Wessel (1745-1818) norvég földmérő adta meg 1797-ben. Munkája gyakorlatilag ismeretlen maradt egészen addig, amíg 1897-ben meg nem jelent a francia fordítása. Helyesen állapította meg, hogy a komplex számok befogadásához el kell hagyni a két irányvonalat :
… az irány nem az algebra tárgya, csak annyiban, amennyiben algebrai műveletekkel megváltoztatható. De mivel ezek nem változtathatják meg az irányt (legalábbis az általános magyarázat szerint), csak az ellenkezőjére, vagyis pozitívról negatívra, vagy fordítva, csak ezeket az irányokat kell tudni kijelölni …
Nem ésszerűtlen igény, hogy a geometriában használt műveleteket tágabb értelemben vegyük, mint amit az aritmetikában adunk nekik.
Wessel a komplex számokat vektorokként kezeli (anélkül, hogy ezt a kifejezést használná), és legtöbb tulajdonságukat levezeti, beleértve, mondjuk, a trigonometrikus formában történő szorzást, anélkül, hogy az utóbbiakat algebrainak nevezné.
Gauss, aki 1799-ben az algebra alaptételének bizonyítását adta, úgy vélte (1825), hogy “az √-1 igazi metafizikája illuzórikus”. Kétségeit 1831-re legyőzte a komplex számok számelméletben való alkalmazásával, ami óriási lökést adott a komplex számok elfogadásának a matematikai közösségben. Az elfogadás mégsem volt általános. Augustus De Morgan (1806-1871), egy híres matematikus és logikus 1831-ben azt írta :
Az √-a képzetes kifejezés és a -b negatív kifejezés olyan hasonlóságot mutat, hogy bármelyikük is fordul elő egy probléma megoldásaként, valamilyen ellentmondásra vagy abszurditásra utal. Ami a valós jelentést illeti, mindkettő egyformán képzeletbeli, mivel 0 – a ugyanolyan elképzelhetetlen, mint √-a.
Sir William Hamilton, 9. báró (1805-1865) nevéhez fűződik az (x, y) elvont jelölés, amelyet 1833-ban vezetett be. Ez természetesen még nem volt az utolsó szó a komplex számokkal kapcsolatos ismereteink fejlődésében. A komplex számok Hamilton absztrakcióinak tekinthetők, akár pontok vagy vektorok a síkban, akár vektoroperátorok, és így sajátos formájú mátrixok. Egy erőteljes és szép analitikus függvényelmélet alapjául szolgálnak, amelynek alkalmazásai a hidrodinamikától a számelméletig terjednek. Az elfogadásig vezető út talán göröngyös volt, de nem lehet túlbecsülni a komplex számok fontos szerepét a modern matematikában. Ahogy J. Hadamard fogalmazott ,
A valós tartomány két igazsága közötti legrövidebb út a komplex tartományon keresztül vezet.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deduktív elbeszélés és a hit episztemológiai funkciója a matematikában: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. Swetz, Öt ujjtól a végtelenig, Open Court, 1996 (3. kiadás)
Többszörös számok
- A komplex számok algebrai szerkezete
- A komplex számok osztása
- Hasznos azonosságok a komplex számok között
- Hasznos egyenlőtlenségek a komplex számok között
- A komplex számok trigonometrikus alakja
- Valós és komplex. Komplex számok szorzatai
- Komplex számok és geometria
- Közép- és beírt szögek a komplex számokban
- Síkbeli izometriák mint komplex függvények
- Megjegyzések a komplex számok történetéhez
- A negatív és komplex számok első geometriai értelmezése
- Komplex számok: Egy interaktív kütyü
- Kartézi koordinátarendszer
- Az algebra alaptétele
- A komplex szám komplex hatványra lehet valós
- Nem lehet összehasonlítani két komplex számot
- Riemann-gömb és Möbius-transzformáció
- Problémák
- A diagonálisok szorzata a szabályos N-gon
- Egység N-edik gyökének összege
- Napoleon rokonai
- Távolság az ortocentrum és a körközéppont között
- A szárnyháromszögek két tulajdonsága
- A szárnyháromszögek két tulajdonsága – Bizonyítás komplex számokkal
- Középponti kölcsönösség Napóleon alakzatában
- Ortocentrum komplex síkban
|Kapcsolat|||Front page|||Tartalom|||Algebra|