Een kwadratische vergelijking met reële of complexe coëfficiënten heeft twee oplossingen, wortels genaamd. Deze twee oplossingen kunnen al dan niet verschillend zijn, en ze kunnen al dan niet reëel zijn.
Factoriseren door inspectieEdit
Het kan mogelijk zijn om een kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 uit te drukken als een product (px + q)(rx + s) = 0. In sommige gevallen is het mogelijk om, door eenvoudige inspectie, waarden van p, q, r, en s te bepalen die de twee vormen equivalent aan elkaar maken. Als de kwadratische vergelijking in de tweede vorm wordt geschreven, dan stelt de “nulfactor-eigenschap” dat aan de kwadratische vergelijking wordt voldaan als px + q = 0 of rx + s = 0. Het oplossen van deze twee lineaire vergelijkingen levert de wortels van de kwadratische vergelijking op.
Voor de meeste leerlingen is ontbinden in factoren door inspectie de eerste methode om kwadratische vergelijkingen op te lossen waaraan ze worden blootgesteld.:202-207 Als men een kwadratische vergelijking krijgt in de vorm x2 + bx + c = 0, heeft de gezochte factorisatie de vorm (x + q)(x + s), en moet men twee getallen q en s vinden die optellen tot b en waarvan het product c is (dit wordt soms “Vieta’s regel” genoemd en is verwant met Vieta’s formules). Als voorbeeld, x2 + 5x + 6 factoren als (x + 3)(x + 2). Het meer algemene geval waarin a niet gelijk is aan 1 kan een aanzienlijke inspanning vergen van trial and error guess-and-check, ervan uitgaande dat het überhaupt kan worden ontbonden door inspectie.
Met uitzondering van speciale gevallen zoals wanneer b = 0 of c = 0, werkt ontbinden door inspectie alleen voor kwadratische vergelijkingen die rationale wortels hebben. Dit betekent dat de grote meerderheid van kwadratische vergelijkingen die in praktische toepassingen voorkomen, niet kunnen worden opgelost door ontbinden door inspectie.:207
Het vierkant voltooienEdit
Het proces van het voltooien van het kwadraat maakt gebruik van de algebraïsche identiteit
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
die een welomschreven algoritme vertegenwoordigt dat kan worden gebruikt om elke kwadratische vergelijking op te lossen.:207 Uitgaande van een kwadratische vergelijking in standaardvorm, ax2 + bx + c = 0
- Deel elke zijde door a, de coëfficiënt van de kwadratische term.
- Trek de constante term c/a van beide zijden af.
- Voeg het kwadraat van de helft van b/a, de coëfficiënt van x, aan beide zijden toe. Dit “vervolledigt het kwadraat”, waardoor de linkerkant een perfect kwadraat wordt.
- Schrijf de linkerkant als een kwadraat en vereenvoudig de rechterkant indien nodig.
- Maak twee lineaire vergelijkingen door de vierkantswortel van de linkerkant gelijk te stellen aan de positieve en negatieve vierkantswortels van de rechterkant.
- Los elk van de twee lineaire vergelijkingen op.
We illustreren het gebruik van dit algoritme door 2×2 + 4x – 4 = 0 op te lossen
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {{Displaystyle 2)^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {{displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {Displaystyle 4)links(x+1rechts)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {{displaystyle 5)\ x+1={sqrt {3}}
6 ) x = – 1 ± 3 {Displaystyle 6)\ x=-1 {\sqrt {3}}
Het plus-minus-symbool “±” geeft aan dat zowel x = -1 + √3 als x = -1 – √3 oplossingen zijn van de kwadratische vergelijking.
Kwadratische formule en zijn afleidingEdit
Voltooiing van het kwadraat kan worden gebruikt om een algemene formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen af te leiden, de kwadratische formule genoemd. Het wiskundig bewijs zal nu kort worden samengevat. Men kan gemakkelijk zien, door polynomiale expansie, dat de volgende vergelijking gelijkwaardig is aan de kwadratische vergelijking:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}.}
Door de vierkantswortel van beide zijden te nemen, en x te isoleren, ontstaat:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {b^{2}-4ac}}{2a}}.}
In sommige, vooral oudere, bronnen worden alternatieve parametriseringen van de kwadratische vergelijking gebruikt, zoals ax2 + 2bx + c = 0 of ax2 – 2bx + c = 0 , waarbij b een grootte heeft die half zo groot is als de meest gebruikelijke, eventueel met tegengesteld teken. Deze resulteren in enigszins verschillende vormen voor de oplossing, maar zijn verder gelijkwaardig.
In de literatuur is een aantal alternatieve afleidingen te vinden. Deze bewijzen zijn eenvoudiger dan de standaard voltooiing van het kwadraat methode, vertegenwoordigen interessante toepassingen van andere veelgebruikte technieken in de algebra, of bieden inzicht in andere gebieden van de wiskunde.
Een minder bekende kwadratische formule, zoals gebruikt in de methode van Muller levert dezelfde wortels via de vergelijking
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Dit kan worden afgeleid uit de standaard kwadratische formule met de formules van Vieta, die stellen dat het product van de wortels c/a is.
Een eigenschap van deze vorm is dat hij één geldige wortel oplevert als a = 0, terwijl de andere wortel een deling door nul bevat, want als a = 0 wordt de kwadratische vergelijking een lineaire vergelijking, die één wortel heeft. In dit geval daarentegen heeft de meer gebruikelijke formule een deling door nul voor één wortel en een onbepaalde vorm 0/0 voor de andere wortel. Aan de andere kant, als c = 0, geeft de meer gebruikelijke formule twee correcte wortels terwijl deze vorm de nulwortel en een onbepaalde vorm 0/0 geeft.
Verminderde kwadratische vergelijkingEdit
Het is soms handig om een kwadratische vergelijking te verminderen zodat de hoofdcoëfficiënt één is. Dit wordt gedaan door beide zijden te delen door a, wat altijd mogelijk is omdat a niet nul is. Dit levert de gereduceerde kwadratische vergelijking:
x 2 + p x + q = 0 , {displaystyle x^{2}+px+q=0,}
waarbij p = b/a en q = c/a. Deze monische vergelijking heeft dezelfde oplossingen als het origineel.
De kwadratische formule voor de oplossingen van de gereduceerde kwadratische vergelijking, geschreven in termen van de coëfficiënten, is:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {{\displaystyle x={\frac {1}{2}}left(-p\m {sqrt {p^{2}-4q}}right),}
of equivalent:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}} {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
In de kwadratische formule wordt de uitdrukking onder het vierkantswortelteken de discriminant van de kwadratische vergelijking genoemd, en wordt vaak weergegeven met een hoofdletter D of een hoofdletter Griekse delta:
Δ = b 2 – 4 a c . {Displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Een vierkantsvergelijking met reele coëfficiënten kan ofwel één of twee verschillende reele wortels hebben, ofwel twee verschillende complexe wortels. In dit geval bepaalt de discriminant het aantal en de aard van de wortels. Er zijn drie gevallen:
- Als de discriminant positief is, dan zijn er twee verschillende wortels
– b + Δ 2 a en – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}{2a}} {\quad {\text{en}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}{2a}},}
die beide reële getallen zijn. Voor kwadratische vergelijkingen met rationale coëfficiënten geldt dat als de discriminant een kwadraatgetal is, de wortels rationaal zijn – in andere gevallen kunnen het kwadratische irrationalen zijn.
- Als de discriminant nul is, dan is er precies één reele wortel
– b 2 a , {{\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
ook wel herhaalde of dubbele wortel genoemd.
- Als de discriminant negatief is, dan zijn er geen reele wortels. In plaats daarvan zijn er twee verschillende (niet-reële) complexe wortels
– b 2 a + i – Δ 2 a en – b 2 a – i – Δ 2 a , {{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}}}}quad {{\text{en}}quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}
die complexe conjugaten van elkaar zijn. In deze uitdrukkingen is i de imaginaire eenheid.
Dus de wortels zijn onderscheiden als en slechts als de discriminant niet nul is, en de wortels zijn reëel als en slechts als de discriminant niet-negatief is.
Geometrische interpretatieEdit
- Wortels en y-afsnijpunt in rood
- Vertex en symmetrieas in blauw
- Focus en directrix in roze
De functie f(x) = ax2 + bx + c is een kwadratische functie. De grafiek van elke kwadratische functie heeft dezelfde algemene vorm, die een parabool wordt genoemd. De plaats en grootte van de parabool, en hoe deze opent, hangen af van de waarden van a, b en c. Zoals te zien is in figuur 1, heeft de parabool, als a > 0, een minimaal punt en opent hij naar boven. Als a < 0, heeft de parabool een maximumpunt en gaat hij naar beneden open. Het uiterste punt van de parabool, of het nu minimum of maximum is, komt overeen met het hoekpunt. De x-coördinaat van het hoekpunt ligt dan op x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}
, en de y-coördinaat van het hoekpunt kan worden gevonden door deze x-waarde in de functie te substitueren. Het y-afsnijpunt ligt in het punt (0, c).
De oplossingen van de kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0 komen overeen met de wortels van de functie f(x) = ax2 + bx + c, want het zijn de waarden van x waarvoor f(x) = 0. Zoals weergegeven in figuur 2, als a, b en c reële getallen zijn en het domein van f de verzameling reële getallen is, dan zijn de wortels van f precies de x-coördinaten van de punten waar de grafiek de x-as raakt. Zoals figuur 3 laat zien, raakt de grafiek de x-as op twee punten als de discriminant positief is; als de discriminant nul is, raakt de grafiek de x-as op één punt; en als de grafiek negatief is, raakt de grafiek de x-as niet.
Kwadratische factorisatieEdit
De term
x – r {\displaystyle x-r}
is een factor van de veelterm
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
als en slechts als r een wortel is van de kwadratische vergelijking
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Uit de kwadratische formule volgt dat
a x 2 + b x + c = a ( x – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {displaystyle ax^{2}+bx+c=a-links(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}rechts)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}rechts).}
In het speciale geval b2 = 4ac waarin de kwadratische slechts één afzonderlijke wortel heeft (d.w.z. dat de discriminant nul is), kan de kwadratische veelterm worden ontbonden als
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Grafische oplossingEdit
De oplossingen van de kwadratische vergelijking
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
kunnen worden afgeleid uit de grafiek van de kwadratische functie
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
die een parabool is.
Als de parabool de x-as in twee punten snijdt, zijn er twee reele wortels, die de x-coördinaten van deze twee punten zijn (ook wel x-afsnijpunt genoemd).
Als de parabool de x-as raakt, is er een dubbele wortel, die de x-coördinaat is van het raakpunt tussen de grafiek en de parabool.
Als de parabool de x-as niet snijdt, zijn er twee complexe geconjugeerde wortels. Hoewel deze wortels niet zichtbaar zijn in de grafiek, zijn hun reële en imaginaire delen dat wel.
Laat h en k respectievelijk de x-coördinaat en de y-coördinaat zijn van het hoekpunt van de parabool (dat is het punt met de maximale of minimale y-coördinaat. De kwadratische functie kan herschreven worden
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Laat d de afstand zijn tussen het punt met y-coördinaat 2k op de as van de parabool, en een punt op de parabool met dezelfde y-coördinaat (zie de figuur; er zijn twee zulke punten, die dezelfde afstand geven, vanwege de symmetrie van de parabool). Dan is het reele deel van de wortels h, en hun imaginaire deel ±d. Dat wil zeggen, de wortels zijn
h + i d en x – i d , {\displaystyle h+idquad {{and}}quad x-id,}
of in het geval van het voorbeeld van de figuur
5 + 3 i en 5 – 3 i . {5+3i en 5-3i.
Vermijden van betekenisverliesEdit
Hoewel de kwadratische formule een exacte oplossing geeft, is het resultaat niet exact als reële getallen worden benaderd tijdens de berekening, zoals gebruikelijk in numerieke analyse, waar reële getallen worden benaderd door drijvende komma getallen (in veel programmeertalen “reals” genoemd). In deze context is de kwadratische formule niet volledig stabiel.
Dit doet zich voor als de wortels een verschillende orde van grootte hebben, of, equivalente wijze, als b2 en b2 – 4ac dicht bij elkaar liggen in grootte. In dit geval zal de aftrekking van twee bijna gelijke getallen leiden tot verlies van betekenis of catastrofale annulering in de kleinste wortel. Om dit te voorkomen kan de kleinere wortel, r, worden berekend als ( c / a ) / R {(c/a)/R}
waarbij R de wortel is die groter is in omvang.
Een tweede vorm van annulering kan optreden tussen de termen b2 en 4ac van de discriminant, namelijk wanneer de twee wortels zeer dicht bij elkaar liggen. Dit kan leiden tot verlies van maximaal de helft van de juiste significante cijfers in de wortels.