De studie van de getallen komt gewoonlijk na elkaar. Kinderen beginnen met de telgetallen. Gaan naar de negatieve gehele getallen en breuken. Graven in de decimale breuken en gaan soms verder naar de reële getallen. De complexe getallen komen als laatste, als ze al komen. Elke uitbreiding van het getalbegrip heeft een geldige praktische verklaring.

Negatieve getallen waren nodig om a + x = b op te lossen, zelfs wanneer a > b. De breuken hielpen bij het oplossen van ax = b, wanneer b niet deelbaar was door a. Het besef van het bestaan van realen was een antwoord op de noodzaak om x² = 2 op te lossen. En tenslotte kwamen de complexe getallen om de hoek kijken toen de evolutie van de wiskunde leidde tot de ondenkbare vergelijking x² = -1. Alles op zijn tijd.

De historische werkelijkheid was veel te anders. Hoe vreemd en onlogisch het ook moge klinken, de ontwikkeling en aanvaarding van de complexe getallen verliep parallel met de ontwikkeling en aanvaarding van negatieve getallen.

De vierkantswortels van negatieve getallen verschenen in Ars Magna (1545) van Girolamo Cardano, die verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen zou overwegen (b.v. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) enkel en alleen om het gebruik van negatieve getallen te vermijden. Dit is niet verwonderlijk, aangezien de hulpmiddelen die Cardano gebruikte gewoonlijk worden omschreven als meetkundige algebra. Dit is nog in de traditie van, zeg, Euclides II.5 en II.6, Al-Khowarizmi , en vele anderen. De algebraïsche symboliek was nog in ontwikkeling en omslachtig en de bewijzen waren meetkundig.

Cardano’s interne conflict is voelbaar in zijn geschrift. Hij behandelt het probleem dat men tegenwoordig zou omschrijven als het oplossen van de kwadratische vergelijking x² – 10x + 40 = 0:

Een tweede type van de valse stelling maakt gebruik van wortels van negatieve getallen. Ik zal een voorbeeld geven: Als iemand tegen u zegt: Verdeel 10 in twee delen, waarvan de ene vermenigvuldigd met de andere 30 of 40 zal opleveren, dan is het duidelijk dat dit geval of deze vraag onmogelijk is. Toch zullen we het op deze manier oplossen.

Gedreven door genialiteit of nieuwsgierigheid, gaat Cardano verder met het oplossen van een onmogelijke vraag! Wanneer algebraïsche manipulaties leiden tot een vierkantswortel van een negatief getal, schrijft Cardano:

… Deze komt echter het dichtst bij de hoeveelheid die werkelijk denkbeeldig is, omdat er geen bewerkingen mee kunnen worden uitgevoerd zoals met een zuiver negatief getal, noch zoals met andere getallen. … Deze subtiliteit vloeit voort uit de rekenkunde waarvan dit laatste punt zoals gezegd even subtiel als nutteloos is.

De volgende stap in het overnemen van complexe getallen is gezet door Rafael Bombelli in zijn Algebra (1572). Hij voelde zich veel beter op zijn gemak met negatieve getallen en gaf de regels voor het hanteren van de getekende hoeveelheden:

Plus maal plus maakt plus
Minus maal min maakt plus
Plus maal min maakt min
Minus maal plus maakt min.

In verband met de complexe getallen schreef hij

… Dit soort vierkantswortel heeft andere rekenkundige bewerkingen dan de andere en een andere benaming, … Maar ik zal het ‘plus van min’ noemen als het moet worden opgeteld, en als het moet worden afgetrokken zal ik het ‘min van min’ noemen, en deze bewerking is het meest noodzakelijk. … Dit zal velen meer kunstmatig dan reëel voorkomen, en ik was zelf dezelfde mening toegedaan, totdat ik het meetkundig bewijs vond …

Hij geeft dan de regels van de vermenigvuldiging:

Plus van min maal plus van min maakt min
Plus van min maal min van min maakt plus
Minus van min maal plus van min maakt plus
Minus van min maal min van min maakt min.

Bij het oplossen van kubische vergelijkingen met drie reele wortels liet hij echter de negatieve wortels weg, maar beschouwde ze nog steeds niet als oplossing.

John Wallis (1616-1703), die de allereerste meetkundige interpretatie van complexe getallen gaf, had de vreemde overtuiging dat negatieve getallen groter waren dan oneindig maar niet kleiner dan 0 . Deze overtuiging werd gedeeld door L. Euler. Euler, die veel gebruik maakte van complexe getallen, die i introduceerde als symbool voor √-1 en die de exponentiële en goniometrische functies verbond in de beroemde formule

eit = cos(t) + i-sin(t),

schreef in zijn Inleiding tot de Algebra

Omdat alle denkbare getallen ofwel groter zijn dan nul ofwel kleiner dan 0 ofwel gelijk aan 0, dan is het duidelijk dat de vierkantswortels van negatieve getallen niet tot de mogelijke getallen kunnen worden gerekend . Bijgevolg moeten we zeggen dat het onmogelijke getallen zijn. En deze omstandigheid brengt ons tot het begrip van zulke getallen, die door hun aard onmogelijk zijn, en gewoonlijk denkbeeldige of gefantaseerde getallen worden genoemd, omdat zij alleen in de verbeelding bestaan.

(Overigens, de ongelukkige term denkbeeldig met precies zo’n connotatie is bedacht door Descartes. Hij noemde ook de negatieve wortels van een vergelijking vals, wat gelukkig niet is blijven hangen). Jean Le Rond d’Alembert, in zijn Encyclopédie (1751 – 1772), ging volledig voorbij aan complexe en schreef dubbelzinnig over negatieve getallen

… de algebraïsche regels van de bewerking met negatieve getallen worden algemeen door iedereen toegegeven en als exact erkend, welk idee we ook mogen hebben over deze grootheden.

De moderne meetkundige interpretatie van complexe getallen werd gegeven door Caspar Wessel (1745-1818), een Noorse landmeter, in 1797. Zijn werk bleef zo goed als onbekend tot de Franse vertaling verscheen in 1897. Hij merkte terecht op dat men, om complexe getallen te kunnen bevatten, de twee richtingslijnen moet opgeven :

Wessel behandelt complexe getallen als vectoren (zonder de term te gebruiken) en leidt de meeste eigenschappen ervan af, waaronder bijvoorbeeld de vermenigvuldiging in de goniometrische vorm, zonder deze laatste als algebraïsch aan te duiden.

Gauss, die in 1799 een bewijs gaf van de Fundamentele Stelling van de Algebra, meende (1825) dat “de ware metafysica van √-1 illusoir is.” Hij overwon zijn twijfels in 1831 met de toepassing van complexe getallen in de getaltheorie, wat een enorme stimulans gaf aan de aanvaarding van complexe getallen in de wiskundige gemeenschap. Toch was de aanvaarding niet universeel. Augustus De Morgan (1806-1871), een beroemd wiskundige en logicus schreef in 1831:

De imaginaire uitdrukking √-a en de negatieve uitdrukking -b hebben deze gelijkenis, dat het voorkomen van één van beide als oplossing van een probleem wijst op een of andere inconsistentie of absurditeit. Wat de reële betekenis betreft, zijn beide even denkbeeldig, want 0 – a is even ondenkbaar als √-a.

Sir William Hamilton, 9e baronet, (1805-1865) is verantwoordelijk voor de abstracte notatie (x, y) , die hij in 1833 introduceerde. Dit was natuurlijk nog niet het laatste woord in de evolutie van ons begrip van de complexe getallen. De complexe getallen kunnen gezien worden als Hamilton’s abstracties, ofwel punten ofwel vectoren in het vlak, vectoroperatoren en dus matrices van een bepaalde vorm. Zij dienen als basis voor een krachtige en mooie analytische functietheorie met toepassingen van de hydrodynamica tot de getaltheorie. De weg naar de aanvaarding is misschien hobbelig geweest, maar men kan de belangrijke rol die de complexe getallen in de moderne wiskunde spelen niet overschatten. Zoals J. Hadamard het formuleerde,

De kortste weg tussen twee waarheden in het reële domein loopt door het complexe domein.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (3e druk)

Complexe Getallen

1. Algebraïsche Structuur van Complexe Getallen
2. Deling van Complexe Getallen
3. Bruikbare identiteiten tussen complexe getallen
4. bruikbare ongelijkheden tussen complexe getallen
5. Trigonometrische vorm van complexe getallen
6. Reële en complexe Producten van complexe getallen
7. Complexe getallen en meetkunde
   • Centrale en ingeschreven hoeken in complexe getallen
8. Vlakke Isometrieën Als Complexe Functies
9. Opmerkingen over de geschiedenis van complexe getallen
   • Eerste meetkundige interpretatie van negatieve en complexe getallen
10. Complexe Getallen: an Interactive Gizmo
11. Cartesian Coordinate System
12. Fundamentele Stelling van Algebra
13. Complex Getal Tot een Complexe Macht Kan Reëel Zijn
14. Twee complexe getallen kun je niet vergelijken
15. Riemannsfeer en Möbius Transformatie
16. Problemen
    • Product van Diagonalen in Reguliere N-zon
    • gon
    • Som van de N-de wortels van de Eenheid
    • Napoleons verwanten
    • Afstand tussen het orthocentrum en het circumcentrum
    • Twee Eigenschappen van Flankdriehoeken – Een bewijs met complexe getallen
    • Reciprociteit van het middelpunt in de configuratie van Napoleon
    • Orthocentrum in het complexe vlak

|Contact|Voorpagina||Inhoud||Algebra|