Nauka liczb przychodzi zwykle po kolei. Dzieci zaczynają od liczenia liczb. Przechodzą do liczb całkowitych ujemnych i ułamków. Zagłębiają się w ułamki dziesiętne, a czasem kontynuują naukę o liczbach rzeczywistych. Liczby zespolone przychodzą na końcu, jeśli w ogóle. Każde rozszerzenie pojęcia liczb ma ważne praktyczne wyjaśnienie.

Negatywne liczby były potrzebne do rozwiązania a + x = b, nawet gdy a > b. Ułamki pomogły rozwiązać ax = b, gdy b nie było podzielne przez a. Realizacja istnienia reals była odpowiedzią na potrzebę rozwiązania x² = 2. I wreszcie, liczby zespolone pojawiły się, gdy ewolucja matematyki doprowadziła do nie do pomyślenia równania x² = -1. Wszystko w swoim czasie.

Rzeczywistość historyczna była zdecydowanie zbyt odmienna. Jakkolwiek dziwnie i nielogicznie by to nie brzmiało, rozwój i akceptacja liczb złożonych postępowały równolegle z rozwojem i akceptacją liczb ujemnych.

Pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych pojawiły się w Ars Magna (1545) Girolamo Cardano, który rozważał kilka form równań kwadratowych (np. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) tylko po to, by uniknąć użycia liczb ujemnych. Trudno się temu dziwić, skoro narzędzia, którymi posługiwał się Cardano, zwykło się określać mianem algebry geometrycznej. Jest to jednak w tradycji, powiedzmy, Euklidesa II.5 i II.6, Al-Khowarizmiego i wielu innych. Symbolika algebraiczna była jeszcze rozwojowa i kłopotliwa, a dowody były geometryczne.

Konflikt wewnętrzny Cardano jest namacalny w jego pisarstwie. Zajmuje się on problemem, który dziś określilibyśmy jako rozwiązanie równania kwadratowego x² – 10x + 40 = 0:

Drugi typ fałszywego stanowiska wykorzystuje korzenie liczb ujemnych. Podam przykład: Jeśli ktoś mówi do ciebie: podziel 10 na dwie części, z których jedna pomnożona w drugą da 30 lub 40, to oczywiste jest, że ten przypadek czy pytanie jest niemożliwe. Niemniej jednak, rozwiążemy je w ten sposób.

Pędzony przez geniusz lub ciekawość, Cardano przechodzi do rozwiązania niemożliwego pytania! Kiedy algebraiczne manipulacje prowadzą do pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, Cardano pisze:

… To jednak jest najbliżej do wielkości, która jest naprawdę urojona, ponieważ operacje nie mogą być wykonywane z nim jak z czystej liczby ujemnej, ani jak w innych liczb. … Ta subtelność wynika z arytmetyki, z których ten ostatni punkt jest jak powiedziałem tak subtelne, jak to jest bezużyteczne.

Następny krok w przyjmowaniu liczb złożonych został dokonany przez Rafaela Bombelli w jego Algebra (1572). Zdecydowanie lepiej czuł się wśród liczb ujemnych i podał zasady posługiwania się wielkościami podpisanymi:

Plus razy plus czyni plus
Minus razy minus czyni plus
Plus razy minus czyni minus
Minus razy plus czyni minus.

W odniesieniu do liczb zespolonych napisał

… Ten rodzaj pierwiastka kwadratowego ma inne operacje arytmetyczne niż pozostałe i inną nazwę, … Ale będę go nazywał 'plus z minusem’, gdy ma być dodawany, a gdy ma być odejmowany, będę go nazywał 'minus z minusem’, a ta operacja jest najbardziej potrzebna. … Wielu wyda się to bardziej sztuczne niż prawdziwe, i sam byłem tego samego zdania, dopóki nie znalazłem demonstracji geometrycznej…

Potem podaje zasady mnożenia:

Plus minus razy plus minus tworzy minus
Plus minus razy minus minus tworzy plus
Minus minus razy plus minus tworzy plus
Minus minus razy minus tworzy minus.

Jednakże przy rozwiązywaniu równań sześciennych z trzema rzeczywistymi korzeniami pomijał korzenie ujemne, nadal nie uważając ujemnych za rozwiązanie.

John Wallis (1616-1703), który podał pierwszą geometryczną interpretację liczb zespolonych, miał dziwne przekonanie, że liczby ujemne są większe od nieskończoności, ale nie mniejsze od 0 . To przekonanie było podzielane przez L. Eulera. Euler, który szeroko wykorzystywał liczby zespolone, wprowadził i jako symbol √-1 i połączył funkcje wykładniczą i trygonometryczną w słynnym wzorze

eit = cos(t) + i-sin(t),

napisał w swoim Wprowadzeniu do algebry

Ponieważ wszystkie możliwe do pomyślenia liczby są albo większe od zera, albo mniejsze od 0, albo równe 0, to jasne jest, że pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych nie mogą być zawarte wśród możliwych liczb. W związku z tym musimy powiedzieć, że są to liczby niemożliwe. I ta okoliczność prowadzi nas do pojęcia takiej liczby, które z natury są niemożliwe, a zwykle nazywane są liczbami urojonymi lub fantazyjnymi, ponieważ istnieją one tylko w wyobraźni.

(Nawiasem mówiąc, niefortunny termin urojonych z dokładnie taką konotacją został ukuty przez Kartezjusza. Fałszywymi nazwał on również ujemne pierwiastki równania, które na szczęście nie utknęły). Jean Le Rond d’Alembert w swojej Encyklopedii (1751 – 1772) całkowicie pominął liczby zespolone i niejednoznacznie pisał o liczbach ujemnych

… zasady algebraiczne operacji z liczbami ujemnymi są powszechnie przyznawane przez wszystkich i uznawane za dokładne, niezależnie od tego, jakie mamy pojęcie o tych wielkościach.

Nowoczesną interpretację geometryczną liczb zespolonych podał w 1797 roku Caspar Wessel (1745-1818), norweski geodeta. Jego praca pozostała praktycznie nieznana do czasu ukazania się francuskiego tłumaczenia w 1897 roku. Trafnie zauważył, że aby pomieścić liczby zespolone trzeba porzucić linię dwukierunkową :

Wessel traktuje liczby zespolone jako wektory (nie używając tego terminu) i wyprowadza większość ich własności, w tym, powiedzmy, mnożenie w postaci trygonometrycznej, nie określając tego ostatniego jako algebraicznego.

Gauss, który w 1799 roku podał dowód Fundamentalnego Twierdzenia Algebry, uważał (1825), że „prawdziwa metafizyka √-1 jest iluzoryczna.” Przezwyciężył swoje wątpliwości do 1831 roku z zastosowaniem liczb zespolonych do teorii liczb, co dało ogromny impuls do akceptacji liczb zespolonych w społeczności matematycznej. Akceptacja ta nie była jednak powszechna. Augustus De Morgan (1806-1871), słynny matematyk i logik napisał w 1831 roku:

Wyobrażone wyrażenie √-a i wyrażenie ujemne -b mają to podobieństwo, że każde z nich występujące jako rozwiązanie problemu wskazuje na pewną niekonsekwencję lub absurdalność. Jeśli chodzi o znaczenie rzeczywiste, oba są tak samo urojone, ponieważ 0 – a jest tak samo niepojęte jak √-a.

Sir William Hamilton, 9. baronet, (1805-1865) jest odpowiedzialny za abstrakcyjny zapis (x, y) , który wprowadził w 1833 roku. To oczywiście nie było jeszcze ostatnie słowo w ewolucji naszego rozumienia liczb zespolonych. Liczby zespolone mogą być postrzegane jako abstrakcje Hamiltona, punkty lub wektory na płaszczyźnie, operatory wektorowe i, co za tym idzie, macierze o określonej postaci. Są one podstawą potężnej i pięknej teorii funkcji analitycznych o zastosowaniach od hydrodynamiki do teorii liczb. Droga do akceptacji była może wyboista, ale nie sposób przecenić ważnej roli, jaką liczby zespolone odgrywają we współczesnej matematyce. Jak to ujął J. Hadamard ,

Najkrótsza droga między dwiema prawdami w dziedzinie rzeczywistej przechodzi przez dziedzinę złożoną.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity (Od pięciu palców do nieskończoności), Open Court, 1996 (3rd printing)

Liczby zespolone

1. Algebraiczna struktura liczb zespolonych
2. Podział liczb zespolonych

.

3. Użyteczne tożsamości wśród liczb zespolonych
4. Użyteczne nierówności wśród liczb zespolonych
5. Trigonometryczna postać liczb zespolonych
6. Real and Complex Products of Complex Numbers
7. Complex Numbers and Geometry
   • Central and Inscribed Angles in Complex Numbers
8. Plane Isometries As Complex Functions
9. Remarks on the History of Complex Numbers
   • First Geometric Interpretation of Negative and Complex Numbers
10. Complex Numbers: an Interactive Gizmo
11. Cartesian Coordinate System
12. Fundamental Theorem of Algebra
13. Complex Number To a Complex Power May Be Real
14. One can’t compare two complex numbers
15. Riemann Sphere and Möbius Transformation
16. Problems
    • Product of Diagonals in Regular N-gon
    • Sum of the Nth Roots of Unity
    • Napoleon’s Relatives
    • Distance between the Orthocenter and Circumcenter
    • Two Properties of Flank Triangles – A Proof with Complex Numbers
    • Midpoint Reciprocity in Napoleon’s Configuration
    • Orthocenter in Complex Plane

Kontakt|||Front page|||Contents|||Algebra|

.