Studier av tal kommer vanligtvis i en följd. Barn börjar med räknetalen. Flyttar sig till de negativa heltalen och bråken. Gräver i decimalbråken och fortsätter ibland till de verkliga talen. De komplexa talen kommer sist, om alls. Varje utvidgning av talbegreppet har en giltig praktisk förklaring.

Negativa tal behövdes för att lösa a + x = b, även när a > b. Bråken hjälpte till att lösa ax = b, när b inte var delbart med a. Insikten om existensen av reella tal var ett svar på behovet av att lösa x² = 2. Och slutligen kom de komplexa talen när matematikens utveckling ledde till den otänkbara ekvationen x² = -1. Allt i sinom tid.

Den historiska verkligheten var alldeles för annorlunda. Hur konstigt och ologiskt det än kan låta gick utvecklingen och acceptansen av de komplexa talen parallellt med utvecklingen och acceptansen av negativa tal.

Kvadratrötter av negativa tal dök upp i Ars Magna (1545) av Girolamo Cardano, som övervägde flera former av kvadratiska ekvationer (t.ex. x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) bara för att undvika att använda negativa tal. Vilket knappast är förvånande med tanke på att de verktyg som Cardano använde brukar beskrivas som geometrisk algebra. Detta är ändå i traditionen från till exempel Euklides II.5 och II.6, Al-Khowarizmi och många andra. Den algebraiska symboliken var fortfarande under utveckling och besvärlig och bevisen har varit geometriska.

Cardanos inre konflikt är påtaglig i hans skrift. Han hanterar det problem som numera skulle beskrivas som att lösa den kvadratiska ekvationen x² – 10x + 40 = 0:

En andra typ av den falska positionen använder sig av rötter av negativa tal. Jag ska ge ett exempel: Om någon säger till dig: Dela 10 i två delar, varav den ena multiplicerad med den andra ska ge 30 eller 40, är det uppenbart att detta fall eller denna fråga är omöjlig. Ändå ska vi lösa det på detta sätt.

Drivet av antingen genialitet eller nyfikenhet fortsätter Cardano att lösa en omöjlig fråga! När algebraiska manipulationer leder till en kvadratrot av ett negativt tal skriver Cardano:

… Detta ligger emellertid närmast den kvantitet som verkligen är imaginär, eftersom operationer inte kan utföras med det som med ett rent negativt tal, och inte heller som med andra tal. … Denna subtilitet är ett resultat av aritmetiken, av vilken denna sista punkt som sagt är lika subtil som den är värdelös.

Nästa steg i antagandet av komplexa tal har tagits av Rafael Bombelli i hans Algebra (1572). Han var betydligt mer bekväm med negativa tal och meddelade reglerna för hur man hanterar de signerade kvantiteterna:

Plus gånger plus ger plus
Minus gånger minus ger plus
Plus gånger minus ger minus
Minus gånger plus ger minus
Minus gånger plus ger minus.

I samband med de komplexa talen skrev han

… Denna typ av kvadratrot har andra aritmetiska operationer än de andra och en annan benämning, … Men jag skall kalla den ’plus av minus’ när den skall adderas, och när den skall subtraheras skall jag kalla den ’minus av minus’, och denna operation är högst nödvändig. … Detta kommer för många att verka mer artificiellt än verkligt, och jag var själv av samma åsikt, tills jag fann den geometriska demonstrationen …

Han ger sedan reglerna för multiplikation:

Plus av minus gånger plus av minus ger minus
Plus av minus gånger minus av minus ger plus
Minus av minus gånger plus av minus ger plus
Minus av minus gånger plus av minus ger plus
Minus av minus gånger minus av minus ger minus.

När han löste kubiska ekvationer med tre reella rötter utelämnade han dock de negativa rötterna, men betraktade ändå inte de negativa rötterna som en lösning.

John Wallis (1616-1703), som gav den allra första geometriska tolkningen av komplexa tal, hade en märklig uppfattning om att de negativa talen var större än oändligheten, men inte mindre än 0 . Denna uppfattning delades av L. Euler. Euler, som använde komplexa tal i stor utsträckning, som införde i som symbol för √-1 och kopplade samman de exponentiella och trigonometriska funktionerna i den berömda formeln

eit = cos(t) + i-sin(t),

skrev i sin Introduktion till algebra

Om alla tänkbara tal är antingen större än noll eller mindre än 0 eller lika med 0, är det uppenbart att de negativa talens kvadratrötter inte kan ingå bland de tänkbara talen . Följaktligen måste vi säga att dessa är omöjliga tal. Och denna omständighet leder oss till begreppet sådana tal, som till sin natur är omöjliga, och som vanligtvis kallas imaginära eller fantiserade tal, eftersom de bara existerar i fantasin.

(Förresten, den olyckliga termen imaginär med exakt en sådan innebörd har myntats av Descartes. Han kallade också de negativa rötterna i en ekvation för falska, vilket lyckligtvis inte fastnade). Jean Le Rond d’Alembert, i sin Encyclopédie (1751 – 1772), passerade helt och hållet över komplexa och skrev tvetydigt om negativa tal

… de algebraiska reglerna för att operera med negativa tal erkänns i allmänhet av alla och erkänns som exakta, oavsett vilken föreställning vi har om dessa kvantiteter.

Den moderna geometriska tolkningen av komplexa tal gavs av Caspar Wessel (1745-1818), en norsk lantmätare, år 1797. Hans arbete förblev praktiskt taget okänt tills den franska översättningen dök upp 1897. Han observerade korrekt att man för att tillgodose komplexa tal måste överge linjen med två riktningar :

Wessel behandlar komplexa tal som vektorer (utan att använda termen) och härleder de flesta av deras egenskaper, inklusive till exempel multiplikation i trigonometrisk form, utan att beteckna den sistnämnda som algebraisk.

Gauss, som 1799 gav ett bevis för algebrans fundamentala sats, tyckte (1825) att ”√-1:s sanna metafysik är illusorisk”. Han övervann sina tvivel 1831 genom att tillämpa komplexa tal i talteorin, vilket gav ett enormt uppsving för acceptansen av komplexa tal i det matematiska samfundet. Ändå var acceptansen inte universell. Augustus De Morgan (1806-1871), en berömd matematiker och logiker, skrev 1831 :

Det imaginära uttrycket √-a och det negativa uttrycket -b har denna likhet, att om någon av dem uppträder som lösningen på ett problem tyder det på någon inkonsekvens eller absurditet. När det gäller verklig betydelse är båda lika imaginära, eftersom 0 – a är lika ofattbart som √-a.

Sir William Hamilton, 9th Baronet, (1805-1865) är ansvarig för den abstrakta notationen (x, y) , som han introducerade 1833. Detta var naturligtvis ännu inte det sista ordet i utvecklingen av vår förståelse av de komplexa talen. Komplexa tal kan ses som Hamiltons abstraktioner, antingen punkter eller vektorer i planet, vektoroperatörer och därmed matriser av en specifik form. De ligger till grund för en kraftfull och vacker analytisk funktionsteori med tillämpningar från hydrodynamik till talteori. Vägen till acceptans kan ha varit krokig, men man kan inte överskatta den viktiga roll som komplexa tal spelar i den moderna matematiken. Som J. Hadamard har uttryckt det ,

Den kortaste vägen mellan två sanningar i det reella området går genom det komplexa området.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (tredje tryckningen)

Komplexa tal

1. Algebraisk struktur för komplexa tal
2. Division av komplexa tal
3. Användbara identiteter bland komplexa tal
4. Användbara olikheter bland komplexa tal
5. Trigonometrisk form av komplexa tal
6. Real och komplex Produkter av komplexa tal
7. Komplexa tal och geometri
   • Centrala och inskrivna vinklar i komplexa tal
8. Planets isometrier som komplexa funktioner
9. Anmärkningar om komplexa tals historia
   • Första geometriska tolkningen av negativa och komplexa tal
10. Komplexa tal: En interaktiv pryl
11. Kartesianskt koordinatsystem
12. Fundamental Theorem of Algebra
13. Komplexa tal till en komplex potens kan vara reella
14. Det går inte att jämföra två komplexa tal
15. Riemannsfären och Möbius-transformationen
16. Problem
    • Produkt av diagonaler i regelbundna N-gon
    • Summan av de N:e rötterna av enhet
    • Napoleons släktingar
    • Avstånd mellan ortocenter och cirkumcenter
    • Två egenskaper hos flanktrianglar – Ett bevis med komplexa tal
    • Midpunktsreciprocitet i Napoleons konfiguration
    • Orthocentrum i det komplexa planet

|Kontakt||Förstegssida||Innehåll||Algebra|