Kvadraattisella yhtälöllä, jolla on reaalisia tai kompleksisia kertoimia, on kaksi ratkaisua, joita kutsutaan juuriksi. Nämä kaksi ratkaisua voivat olla tai eivät voi olla erillisiä, ja ne voivat olla tai eivät voi olla reaalisia.
Faktorointi tarkastelemallaEdit
Kvadraattisen yhtälön ax2 + bx + c = 0 voi olla mahdollista ilmaista tulona (px + q)(rx + s) = 0. Joissain tapauksissa on mahdollista yksinkertaisella tarkastelemalla määritellä p:n, q:n, r:n ja s:n arvot, joiden avulla nämä kaksi muotoa ovat ekvivalenttisia keskenään. Jos kvadraattinen yhtälö on kirjoitettu toisessa muodossa, ”nollatekijäominaisuus” sanoo, että kvadraattinen yhtälö täyttyy, jos px + q = 0 tai rx + s = 0. Ratkaisemalla nämä kaksi lineaarista yhtälöä saadaan kvadraattisen yhtälön juuret.
Useimmille oppilaille faktorointi tarkastelemalla on ensimmäinen kvadraattisten yhtälöiden ratkaisumenetelmä, jolle he altistuvat.:202-207 Jos annetaan kvadraattinen yhtälö muodossa x2 + bx + c = 0, etsitty faktorointi on muotoa (x + q)(x + s), ja on löydettävä kaksi lukua q ja s, joiden summa on b ja joiden tulo on c (tätä kutsutaan joskus ”Vietan säännöksi” ja se liittyy Vietan kaavoihin). Esimerkiksi x2 + 5x + 6 on (x + 3)(x + 2). Yleisempi tapaus, jossa a ei ole yhtä suuri kuin 1, voi vaatia huomattavaa vaivaa kokeilemalla ja erehtymällä arvaamalla ja tarkistamalla, olettaen, että se voidaan ylipäätään faktoroida tarkastelemalla.
Ei oteta huomioon erikoistapauksia, kuten tapauksia, joissa b = 0 tai c = 0, faktorointi tarkastelemalla onnistuu vain kvadraattisille yhtälöille, joilla on rationaalijuuret. Tämä tarkoittaa, että suurinta osaa käytännön sovelluksissa esiintyvistä kvadraattisista yhtälöistä ei voi ratkaista faktoroimalla tarkastelemalla. 207
Neliön täydentäminenEdit
Neliön täydentämisessä hyödynnetään algebrallista identiteettiä
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
joka edustaa tarkoin määriteltyä algoritmia, jota voidaan käyttää minkä tahansa kvadraattisen yhtälön ratkaisemiseen.:207 Lähdetään liikkeelle vakiomuotoisesta kvadraattisesta yhtälöstä ax2 + bx + c = 0
- Jaa kumpikin puoli neliötermin kertoimella a.
- Vähennä molemmista puolista vakiotermi c/a.
- Lisää molempiin puoliin x:n kertoimen b/a puolen neliö. Tämä ”täydentää neliön”, jolloin vasen puoli muuttuu täydelliseksi neliöksi.
- Kirjoita vasen puoli neliöksi ja yksinkertaista tarvittaessa oikea puoli.
- Tuota kaksi lineaarista yhtälöä rinnastamalla vasemman puolen neliöjuuri oikean puolen positiiviseen ja negatiiviseen neliöjuureen.
- Ratkaise kumpikin näistä kahdesta lineaarisesta yhtälöstä.
Kuvitamme tämän algoritmin käyttöä ratkaisemalla 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\ \ \left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}
Plus-miinusmerkki ”±” osoittaa, että sekä x = -1 + √3 että x = -1 – √3 ovat kvadraattisen yhtälön ratkaisuja.
Kvadraattisen yhtälön kaava ja sen derivointi Muokkaa
Neliön täydentämisen avulla voidaan johtaa yleinen kvadraattisten yhtälöiden ratkaisukaava, jota kutsutaan kvadraattikaavaksi. Matemaattinen todistus tiivistetään nyt lyhyesti. Polynomia laajentamalla voidaan helposti nähdä, että seuraava yhtälö vastaa kvadraattista yhtälöä:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Kummankin puolen neliöjuuren ottaminen ja x:n eristäminen antaa:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Joissakin lähteissä, erityisesti vanhemmissa, käytetään kvadraattisen yhtälön vaihtoehtoisia parametrisointeja, kuten ax2 + 2bx + c = 0 tai ax2 – 2bx + c = 0 , jossa b:n suuruus on puolet tavallisemmasta, mahdollisesti vastakkaisella merkillä. Nämä johtavat hieman erilaisiin ratkaisumuotoihin, mutta ovat muuten samanarvoisia.
Kirjallisuudesta löytyy useita vaihtoehtoisia johdannaisia. Nämä todistukset ovat yksinkertaisempia kuin tavallinen neliön täydentämismenetelmä, edustavat mielenkiintoisia sovelluksia muista algebrassa usein käytetyistä tekniikoista tai tarjoavat näkemyksiä matematiikan muille alueille.
Mullerin menetelmässä käytetty vähemmän tunnettu kvadraattikaava antaa samat juuret yhtälön
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c kautta. {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Tämä voidaan johtaa tavallisesta kvadraattisesta kaavasta Vietan kaavoilla, jotka väittävät, että juurten tulo on c/a.
Tämän muodon eräs ominaisuus on, että se antaa yhden kelvollisen juuren, kun a = 0, kun taas toinen juuri sisältää nollalla jakamisen, koska kun a = 0, kvadraattisesta yhtälöstä tulee lineaarinen yhtälö, jolla on yksi juuri. Sen sijaan tässä tapauksessa yleisemmässä kaavassa on yhden juuren osalta jako nollalla ja toisen juuren osalta epämääräinen muoto 0/0. Toisaalta, kun c = 0, yleisempi kaava antaa kaksi oikeaa juurta, kun taas tämä muoto antaa nollan juuren ja määrittelemättömän muodon 0/0.
Pelkistetty kvadraattinen yhtälöMuutos
Joskus on kätevää pelkistää kvadraattinen yhtälö niin, että sen johtava kerroin on yksi. Tämä tapahtuu jakamalla molemmat puolet a:lla, mikä on aina mahdollista, koska a on nollasta poikkeava. Näin saadaan pelkistetty kvadraattinen yhtälö:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
jossa p = b/a ja q = c/a. Tällä yksikäsitteisellä yhtälöllä on samat ratkaisut kuin alkuperäisellä.
Pienennetyn kvadraattisen yhtälön ratkaisujen kvadraattikaava kirjoitettuna sen kertoimien suhteen on:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right),}
tai ekvivalenttisesti:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}}\right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
Kvadraattikaavassa neliöjuurimerkin alla olevaa lauseketta kutsutaan kvadraattisen yhtälön diskriminanttiksi, ja se esitetään usein isolla D:llä tai kreikkalaisella delta:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Kvadraattisella yhtälöllä, jolla on reaalisia kertoimia, voi olla joko yksi tai kaksi erillistä reaalista juurta tai kaksi erillistä kompleksista juurta. Tällöin diskriminantti määrää juurien lukumäärän ja luonteen. Tapauksia on kolme:
- Jos diskriminantti on positiivinen, on kaksi erillistä juurta
– b + Δ 2 a ja – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{ja}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}
jotka molemmat ovat reaalilukuja. Jos kvadraattisten yhtälöiden, joilla on rationaaliset kertoimet, diskriminantti on neliöluku, juuret ovat rationaalisia – muissa tapauksissa ne voivat olla kvadraattisia irrationaalisia.
- Jos diskriminantti on nolla, on olemassa täsmälleen yksi reaalijuuri
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
jota joskus kutsutaan toistuvaksi tai kaksoisjuureksi.
- Jos diskriminantti on negatiivinen, ei ole reaalisia juuria. Sen sijaan on kaksi erillistä (ei-reaalista) kompleksista juurta
– b 2 a + i – Δ 2 a ja – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}
jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatit. Näissä lausekkeissa i on imaginääriyksikkö.
Juuret ovat siis erillisiä, jos ja vain jos diskriminantti on nollasta poikkeava, ja juuret ovat reaalisia, jos ja vain jos diskriminantti on ei-negatiivinen.
Geometrinen tulkintaEdit
- Juuret ja y-suuntaviiva punaisella
- Kärki ja symmetria-akseli sinisellä
- Fokus ja suuntima vaaleanpunaisella
Funktio f(x) = ax2 + bx + c on kvadraattinen funktio. Minkä tahansa kvadraattisen funktion kuvaajalla on sama yleinen muoto, jota kutsutaan paraabeliksi. Parabelin sijainti ja koko sekä se, miten se aukeaa, riippuvat a:n, b:n ja c:n arvoista. Kuten kuvasta 1 nähdään, jos a > 0, parabelilla on minimipiste ja se aukeaa ylöspäin. Jos a < 0, paraabelilla on maksimipiste ja se avautuu alaspäin. Parabelin ääripiste, olipa se sitten minimi- tai maksimipiste, vastaa sen kärkeä. Huipun x-koordinaatti sijaitsee kohdassa x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}}
, ja kärkipisteen y-koordinaatti voidaan löytää korvaamalla tämä x-arvo funktioon. Y-pisteen leikkauspiste sijaitsee pisteessä (0, c).
Kvadraattisen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut vastaavat funktion f(x) = ax2 + bx + c juuria, sillä ne ovat ne x:n arvot, joille f(x) = 0. Kuten kuvasta 2 nähdään, jos a, b ja c ovat reaalilukuja ja f:n toimialue on reaalilukujen joukko, niin f:n juuret ovat täsmälleen niiden pisteiden x-koordinaatit, joissa kuvaaja koskettaa x-akselia. Kuten kuvasta 3 nähdään, jos diskriminantti on positiivinen, kuvaaja koskettaa x-akselia kahdessa pisteessä, jos nolla, kuvaaja koskettaa yhdessä pisteessä ja jos negatiivinen, kuvaaja ei kosketa x-akselia.
Kvadraattisen faktorointiEdit
Termi
x – r {\displaystyle x-r}
on polynomin
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} tekijä.
jos ja vain jos r on neliyhtälön
a x 2 + b x + c = 0 juuri. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Kvadraattisesta kaavasta seuraa, että
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}} \right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}} \right).}
Erikoistapauksessa b2 = 4ac, jossa kvadraatilla on vain yksi erillinen juuri (eli diskriminantti on nolla), kvadraattinen polynomi voidaan faktoroida seuraavasti
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Graafinen ratkaisuEdit
Neliöyhtälön
a x 2 + b x + c = 0 ratkaisut {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
voidaan päätellä kvadraattisen funktion
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
kuvaajasta, joka on paraabeli.
Jos paraabeli leikkaa x-akselia kahdessa pisteessä, on kaksi reaalijuurta, jotka ovat näiden kahden pisteen x-koordinaatit (kutsutaan myös x-interceptiksi).
Jos paraabeli sivuaa x-akselia, on olemassa kaksoisjuuri, joka on kuvaajan ja paraabelin välisen kosketuspisteen x-koordinaatti.
Jos paraabeli ei leikkaa x-akselia, on olemassa kaksi kompleksikonjugaattijuurta. Vaikka näitä juuria ei voida havainnollistaa kuvaajassa, niiden reaali- ja imaginääriosaa voidaan havainnollistaa.
Olkoon h ja k paraabelin kärkipisteen x-koordinaatti ja y-koordinaatti (eli piste, jonka y-koordinaatti on suurin tai pienin. Kvadraattinen funktio voidaan kirjoittaa uudelleen
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Olkoon d etäisyys paraabelin akselilla olevan y-koordinaatin 2k omaavan pisteen ja paraabelin sellaisen pisteen välillä, jolla on sama y-koordinaatti (ks. kuva; tällaisia pisteitä on kaksi, jotka antavat saman etäisyyden, koska paraabeli on symmetrinen). Tällöin juurten reaaliosa on h ja imaginääriosa ±d. Toisin sanoen juuret ovat
h + i d ja x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{ja}}\quad x-id,}
tai kuvan esimerkin tapauksessa
5 + 3 i ja 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{ja}\quad 5-3i.}
Merkitsevyyshäviön välttäminenEdit
Vaikka kvadraattinen kaava antaa tarkan ratkaisun, tulos ei ole tarkka, jos reaalilukuja approksimoidaan laskennan aikana, kuten on tavallista numeerisessa analyysissä, jossa reaalilukuja approksimoidaan liukuluvuilla (joita kutsutaan monissa ohjelmointikielissä ”realeiksi”). Tässä yhteydessä kvadraattinen kaava ei ole täysin stabiili.
Tämä tapahtuu, kun juuret ovat eri suuruusluokkaa, tai vastaavasti, kun b2 ja b2 – 4ac ovat suuruudeltaan lähellä toisiaan. Tällöin kahden lähes yhtä suuren luvun vähennys aiheuttaa merkityksen menetyksen tai katastrofaalisen kumoamisen pienemmässä juuressa. Tämän välttämiseksi suuruudeltaan pienempi juuri, r, voidaan laskea muodossa ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}
missä R on suuruudeltaan suurempi juuri.
Diskriminantin termien b2 ja 4ac välillä voi esiintyä toisenlaista kumoamista, eli silloin kun nämä kaksi juurta ovat hyvin lähellä toisiaan. Tämä voi johtaa siihen, että juuret menettävät jopa puolet oikeista merkitsevistä luvuista.