Une équation quadratique à coefficients réels ou complexes a deux solutions, appelées racines. Ces deux solutions peuvent être distinctes ou non, et elles peuvent être réelles ou non.
Factorisation par inspectionEdit
Il peut être possible d’exprimer une équation quadratique ax2 + bx + c = 0 sous la forme d’un produit (px + q)(rx + s) = 0. Dans certains cas, il est possible, par simple inspection, de déterminer les valeurs de p, q, r et s qui rendent les deux formes équivalentes l’une à l’autre. Si l’équation quadratique est écrite sous la deuxième forme, alors la » propriété du facteur zéro » stipule que l’équation quadratique est satisfaite si px + q = 0 ou rx + s = 0. La résolution de ces deux équations linéaires fournit les racines du quadratique.
Pour la plupart des élèves, la factorisation par inspection est la première méthode de résolution des équations quadratiques à laquelle ils sont exposés.:202-207 Si l’on donne une équation quadratique de la forme x2 + bx + c = 0, la factorisation recherchée a la forme (x + q)(x + s), et il faut trouver deux nombres q et s dont la somme est égale à b et dont le produit est c (cette méthode est parfois appelée « règle de Vieta » et est liée aux formules de Vieta). Par exemple, x2 + 5x + 6 se factorise en (x + 3)(x + 2). Le cas plus général où a n’est pas égal à 1 peut nécessiter un effort considérable d’essai et d’erreur de devinette et de vérification, en supposant qu’il puisse être factorisé du tout par inspection.
Sauf dans des cas particuliers comme lorsque b = 0 ou c = 0, la factorisation par inspection ne fonctionne que pour les équations quadratiques qui ont des racines rationnelles. Cela signifie que la grande majorité des équations quadratiques qui se présentent dans les applications pratiques ne peuvent pas être résolues par la factorisation par inspection.:207
Compléter le carréModifier
Le processus de complétion du carré fait appel à l’identité algébrique
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
qui représente un algorithme bien défini pouvant être utilisé pour résoudre toute équation quadratique.:207 En partant d’une équation quadratique de forme standard, ax2 + bx + c = 0
- Diviser chaque côté par a, le coefficient du terme au carré.
- Soustraire le terme constant c/a des deux côtés.
- Ajouter le carré de la moitié de b/a, le coefficient de x, aux deux côtés. Ceci « complète le carré », convertissant le côté gauche en un carré parfait.
- Ecrire le côté gauche comme un carré et simplifier le côté droit si nécessaire.
- Produire deux équations linéaires en mettant en équation la racine carrée du côté gauche avec les racines carrées positives et négatives du côté droit.
- Résolvez chacune des deux équations linéaires.
Nous illustrons l’utilisation de cet algorithme en résolvant 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}.
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\\ \left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}
Le symbole plus-moins « ± » indique que x = -1 + √3 et x = -1 – √3 sont tous deux des solutions de l’équation quadratique.
Formule quadratique et sa dérivationModifier
La complétion du carré peut être utilisée pour dériver une formule générale pour résoudre les équations quadratiques, appelée la formule quadratique. La preuve mathématique va maintenant être brièvement résumée. On peut facilement voir, par expansion polynomiale, que l’équation suivante est équivalente à l’équation quadratique :
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}.}
En prenant la racine carrée des deux côtés, et en isolant x, on obtient:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Certaines sources, en particulier les plus anciennes, utilisent des paramétrisations alternatives de l’équation quadratique telles que ax2 + 2bx + c = 0 ou ax2 – 2bx + c = 0 , où b a une magnitude égale à la moitié de la plus courante, éventuellement avec un signe opposé. Il en résulte des formes légèrement différentes pour la solution, mais sont autrement équivalentes.
Un certain nombre de dérivations alternatives peuvent être trouvées dans la littérature. Ces preuves sont plus simples que la méthode standard de complétion du carré, représentent des applications intéressantes d’autres techniques fréquemment utilisées en algèbre, ou offrent un aperçu d’autres domaines des mathématiques.
Une formule quadratique moins connue, utilisée dans la méthode de Muller fournit les mêmes racines via l’équation
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Ceci peut être déduit de la formule quadratique standard par les formules de Vieta, qui affirment que le produit des racines est c/a.
Une propriété de cette forme est qu’elle donne une racine valide lorsque a = 0, alors que l’autre racine contient une division par zéro, car lorsque a = 0, l’équation quadratique devient une équation linéaire, qui a une racine. En revanche, dans ce cas, la formule plus courante comporte une division par zéro pour une racine et une forme indéterminée 0/0 pour l’autre racine. En revanche, lorsque c = 0, la formule plus courante donne deux racines correctes alors que cette forme donne la racine nulle et une forme indéterminée 0/0.
Équation quadratique réduiteModifier
Il est parfois pratique de réduire une équation quadratique de sorte que son coefficient principal soit un. Cela se fait en divisant les deux côtés par a, ce qui est toujours possible puisque a est non nul. On obtient ainsi l’équation quadratique réduite :
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
où p = b/a et q = c/a. Cette équation monique a les mêmes solutions que l’originale.
La formule quadratique des solutions de l’équation quadratique réduite, écrite en fonction de ses coefficients, est :
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}
ou de manière équivalente:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
Dans la formule quadratique, l’expression sous le signe de la racine carrée est appelée le discriminant de l’équation quadratique, et est souvent représentée à l’aide d’un D majuscule ou d’un delta grec majuscule:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
Une équation quadratique à coefficients réels peut avoir soit une ou deux racines réelles distinctes, soit deux racines complexes distinctes. Dans ce cas, le discriminant détermine le nombre et la nature des racines. Il existe trois cas :
- Si le discriminant est positif, alors il existe deux racines distinctes
– b + Δ 2 a et – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}{2a}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}{2a}},}
qui sont toutes deux des nombres réels. Pour les équations quadratiques à coefficients rationnels, si le discriminant est un nombre carré, alors les racines sont rationnelles-dans d’autres cas, elles peuvent être des irrationnels quadratiques.
- Si le discriminant est nul, alors il existe exactement une racine réelle
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
parfois appelée racine répétée ou double.
- Si le discriminant est négatif, alors il n’y a pas de racines réelles. Il y a plutôt deux racines complexes distinctes (non réelles)
– b 2 a + i – Δ 2 a et – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{et}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a},}
qui sont des conjugués complexes l’un de l’autre. Dans ces expressions, i est l’unité imaginaire.
Donc les racines sont distinctes si et seulement si le discriminant est non nul, et les racines sont réelles si et seulement si le discriminant est non négatif.
Interprétation géométriqueModifier
- Rotations et ordonnée à l’origine en rouge
- Vertex et axe de symétrie en bleu
- Focus et directrice en rose
La fonction f(x) = ax2 + bx + c est une fonction quadratique. Le graphique de toute fonction quadratique a la même forme générale, qui s’appelle une parabole. L’emplacement et la taille de la parabole, ainsi que son ouverture, dépendent des valeurs de a, b et c. Comme le montre la figure 1, si a > 0, la parabole a un point minimum et s’ouvre vers le haut. Si a < 0, la parabole a un point maximum et s’ouvre vers le bas. Le point extrême de la parabole, qu’il soit minimum ou maximum, correspond à son sommet. La coordonnée x du sommet sera située en x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}.
, et la coordonnée y du sommet peut être trouvée en substituant cette valeur de x dans la fonction. L’ordonnée à l’origine est située au point (0, c).
Les solutions de l’équation quadratique ax2 + bx + c = 0 correspondent aux racines de la fonction f(x) = ax2 + bx + c, puisqu’il s’agit des valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0. Comme le montre la figure 2, si a, b et c sont des nombres réels et que le domaine de f est l’ensemble des nombres réels, alors les racines de f sont exactement les coordonnées x des points où le graphique touche l’axe des x. Comme le montre la figure 3, si le discriminant est positif, le graphique touche l’axe des x en deux points ; s’il est nul, le graphique touche en un seul point ; et s’il est négatif, le graphique ne touche pas l’axe des x.
Factorisation quadratiqueEdit
Le terme
x – r {\displaystyle x-r}
est un facteur du polynôme
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}.
si et seulement si r est une racine de l’équation quadratique
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Il résulte de la formule quadratique que
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)}\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}right).}
Dans le cas particulier b2 = 4ac où le quadratique n’a qu’une seule racine distincte (c’est-à-dire que le discriminant est nul), le polynôme quadratique peut être factorisé comme
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Solution graphiqueEdit
Les solutions de l’équation quadratique
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}.
peuvent être déduites du graphique de la fonction quadratique
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
qui est une parabole.
Si la parabole coupe l’axe des x en deux points, il y a deux racines réelles, qui sont les coordonnées x de ces deux points (aussi appelées ordonnée à l’origine).
Si la parabole est tangente à l’axe des x, il existe une racine double, qui est la coordonnée x du point de contact entre le graphique et la parabole.
Si la parabole ne coupe pas l’axe des x, il existe deux racines complexes conjuguées. Bien que ces racines ne puissent pas être visualisées sur le graphique, leurs parties réelles et imaginaires peuvent l’être.
Détendez h et k respectivement la coordonnée x et la coordonnée y du sommet de la parabole (c’est-à-dire le point avec la coordonnée y maximale ou minimale. La fonction quadratique peut être réécrite comme suit
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Détendez d la distance entre le point de coordonnée y 2k sur l’axe de la parabole, et un point sur la parabole avec la même coordonnée y (voir la figure ; il y a deux tels points, qui donnent la même distance, à cause de la symétrie de la parabole). Alors la partie réelle des racines est h, et leur partie imaginaire est ±d. C’est-à-dire que les racines sont
h + i d et x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad x-id,}
ou dans le cas de l’exemple de la figure
5 + 3 i et 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}
Éviter la perte de significationModifier
Bien que la formule quadratique fournisse une solution exacte, le résultat n’est pas exact si les nombres réels sont approximés pendant le calcul, comme cela est habituel en analyse numérique, où les nombres réels sont approximés par des nombres à virgule flottante (appelés « réels » dans de nombreux langages de programmation). Dans ce contexte, la formule quadratique n’est pas complètement stable.
Cela se produit lorsque les racines ont un ordre de grandeur différent, ou, de manière équivalente, lorsque b2 et b2 – 4ac sont proches en magnitude. Dans ce cas, la soustraction de deux nombres presque égaux entraîne une perte de signification ou une annulation catastrophique dans la plus petite racine. Pour éviter cela, la racine qui est plus petite en magnitude, r, peut être calculée comme ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}.
où R est la racine qui est plus grande en magnitude.
Une deuxième forme d’annulation peut se produire entre les termes b2 et 4ac du discriminant, c’est-à-dire lorsque les deux racines sont très proches. Cela peut conduire à la perte de la moitié des chiffres significatifs corrects dans les racines.