L’étude des nombres vient généralement en succession. Les enfants commencent par les nombres à compter. Passent aux nombres entiers négatifs et aux fractions. Creuser dans les fractions décimales et parfois continuer vers les nombres réels. Les nombres complexes viennent en dernier, voire pas du tout. Chaque expansion de la notion de nombres a une explication pratique valide.

Les nombres négatifs étaient nécessaires pour résoudre a + x = b, même lorsque a > b. Les fractions ont aidé à résoudre ax = b, lorsque b n’était pas divisible par a. La prise de conscience de l’existence des réels était une réponse à la nécessité de résoudre x² = 2. Et enfin, les nombres complexes sont apparus lorsque l’évolution des mathématiques a conduit à l’impensable équation x² = -1. Tout cela en temps voulu.

La réalité historique était bien trop différente. Aussi étrange et illogique que cela puisse paraître, le développement et l’acceptation des nombres complexes se sont déroulés en parallèle avec le développement et l’acceptation des nombres négatifs.

Les racines carrées des nombres négatifs sont apparues dans Ars Magna (1545) de Girolamo Cardano, qui envisageait plusieurs formes d’équations quadratiques (par exemple, x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) juste pour éviter d’utiliser des nombres négatifs. Ce qui n’est guère surprenant si l’on considère que les outils utilisés par Cardano sont généralement décrits comme de l’algèbre géométrique. C’est pourtant dans la tradition d’Euclide II.5 et II.6, d’Al-Khowarizmi et de bien d’autres. Le symbolisme algébrique était encore évolutif et encombrant et les preuves ont été géométriques.

Le conflit interne deCardano est tangible dans son écriture. Il traite le problème qui, de nos jours, serait décrit comme la résolution de l’équation quadratique x² – 10x + 40 = 0:

Un deuxième type de fausse position fait appel aux racines des nombres négatifs. Je vais donner un exemple : Si quelqu’un vous dit : divisez 10 en deux parties, dont l’une multipliée dans l’autre donnera 30 ou 40, il est évident que ce cas ou cette question est impossible. Néanmoins, nous le résoudrons de cette manière.

Poussé par le génie ou la curiosité, Cardano se lance dans la résolution d’une question impossible ! Lorsque les manipulations algébriques conduisent à la racine carrée d’un nombre négatif, Cardano écrit :

…. C’est cependant la quantité qui se rapproche le plus de celle qui est vraiment imaginaire, puisque les opérations ne peuvent être effectuées avec elle comme avec un nombre négatif pur, ni comme dans les autres nombres. … Cette subtilité résulte de l’arithmétique dont ce dernier point est comme je l’ai dit aussi subtil qu’inutile.

Le pas suivant dans l’adoption des nombres complexes a été fait par Rafael Bombelli dans son Algèbre (1572). Il était de loin plus à l’aise avec les nombres négatifs et a annoncé les règles de manipulation des quantités signées :

Plus fois plus fait plus
Moins fois moins fait plus
Plus fois moins fait moins
Moins fois plus fait moins.

En ce qui concerne les nombres complexes, il a écrit

…. Cette sorte de racine carrée a des opérations arithmétiques différentes des autres et une dénomination différente, …. Mais je l’appellerai ‘plus de moins’ quand elle doit être ajoutée, et quand elle doit être soustraite, je l’appellerai ‘moins de moins’, et cette opération est des plus nécessaires. … Ceci paraîtra à beaucoup plus artificiel que réel, et j’ai eu la même opinion moi-même, jusqu’à ce que je trouve la démonstration géométrique…

Il fournit ensuite les règles de la multiplication :

Plus de moins fois plus de moins fait moins
Plus de moins fois moins de moins fait plus
Moins de moins fois plus de moins fait plus
Moins de moins fois moins fait plus
Moins de moins fois moins de moins fait moins.

Par contre, lors de la résolution d’équations cubiques à trois racines réelles, il omettait les racines négatives , ne considérant toujours pas les négatives comme solution.

John Wallis (1616-1703), qui donna la toute première interprétation géométrique des nombres complexes, avait une étrange croyance selon laquelle les nombres négatifs étaient plus grands que l’infini mais pas inférieurs à 0 . Cette croyance était partagée par L. Euler. Euler, qui utilisait abondamment les nombres complexes, qui a introduit i comme symbole de √-1 et qui a lié les fonctions exponentielle et trigonométrique dans la célèbre formule

eit = cos(t) + i-sin(t),

écrivait dans son Introduction à l’algèbre

Parce que tous les nombres concevables sont soit supérieurs à zéro, soit inférieurs à 0, soit égaux à 0, alors il est clair que les racines carrées des nombres négatifs ne peuvent pas être incluses parmi les nombres possibles . Par conséquent, nous devons dire que ce sont des nombres impossibles. Et cette circonstance nous conduit au concept de tels nombres, qui par leur nature sont impossibles, et ordinairement appelés nombres imaginaires ou fantaisistes, parce qu’ils n’existent que dans l’imagination.

(En passant, le malheureux terme imaginaire avec exactement une telle connotation a été inventé par Descartes. Il a également qualifié de fausses les racines négatives d’une équation qui, heureusement, n’a pas coincé). Jean Le Rond d’Alembert, dans son Encyclopédie (1751 – 1772), passe entièrement sur le complexe et écrit de manière ambiguë sur les nombres négatifs

… les règles algébriques d’opération avec les nombres négatifs sont généralement admises par tout le monde et reconnues exactes, quelle que soit l’idée que l’on se fasse de ces quantités.

L’interprétation géométrique moderne des nombres complexes a été donnée par Caspar Wessel (1745-1818), un géomètre norvégien, en 1797. Son travail est resté pratiquement inconnu jusqu’à la parution de la traduction française en 1897. Il a correctement observé que pour accommoder les nombres complexes, il faut abandonner la ligne à deux directions :

Wessel traite les nombres complexes comme des vecteurs (sans utiliser ce terme) et dérive la plupart de leurs propriétés, y compris, par exemple, la multiplication sous la forme trigonométrique, sans désigner cette dernière comme algébrique.

Gauss, qui a donné une preuve du théorème fondamental de l’algèbre en 1799, pense (1825) que « la véritable métaphysique de √-1 est illusoire. » Il a surmonté ses doutes en 1831 avec l’application des nombres complexes à la théorie des nombres, ce qui a donné un formidable élan à l’acceptation des nombres complexes dans la communauté mathématique. Pourtant, cette acceptation n’était pas universelle. Augustus De Morgan (1806-1871), un célèbre mathématicien et logicien a écrit en 1831 :

L’expression imaginaire √-a et l’expression négative -b ont cette ressemblance, que l’une ou l’autre se produisant comme solution d’un problème indique quelque incohérence ou absurdité. En ce qui concerne la signification réelle, les deux sont également imaginaires, puisque 0 – a est aussi inconcevable que √-a.

Sir William Hamilton, 9e baronnet, (1805-1865) est responsable de la notation abstraite (x, y) , qu’il a introduite en 1833. Ce n’était bien sûr pas encore le dernier mot dans l’évolution de notre compréhension des nombres complexes. Les nombres complexes peuvent être considérés comme les abstractions de Hamilton, soit des points ou des vecteurs dans le plan, des opérateurs vectoriels et, par conséquent, des matrices d’une forme spécifique. Ils servent de base à une puissante et belle théorie des fonctions analytiques dont les applications vont de l’hydrodynamique à la théorie des nombres. La route vers l’acceptation a peut-être été cahoteuse, mais on ne peut surestimer le rôle important joué par les nombres complexes dans les mathématiques modernes. Comme l’a dit J. Hadamard ,

Le plus court chemin entre deux vérités du domaine réel passe par le domaine complexe.

1. H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
2. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
3. M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
4. F. La Nave, Récit déductif et fonction épistémologique de la croyance en mathématiques : On Bombelli and Imaginary Numbers, in Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
5. D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
6. D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
7. F. J. Swetz, From Five Fingers To Infinity, Open Court, 1996 (3ème impression)

Nombres complexes

1. Structure algébrique des nombres complexes
2. Division des nombres complexes

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3. Identités utiles parmi les nombres complexes
4. Inequalités utiles parmi les nombres complexes
5. Forme trigonométrique des nombres complexes
6. Réels et complexes. Produits des nombres complexes
7. Nombres complexes et géométrie
   • Angles centraux et inscrits dans les nombres complexes
8. Isométries planes en tant que fonctions complexes
9. Remarques sur l’histoire des nombres complexes
   • Première interprétation géométrique des nombres négatifs et complexes
10. Nombres complexes : un gadget interactif
11. Système de coordonnées cartésiennes
12. Théorème fondamental de l’algèbre
13. Un nombre complexe à une puissance complexe peut être réel
14. On ne peut pas comparer deux nombres complexes
15. Sphère de Riemann et transformation de Möbius
16. Problèmes
    • Produit des diagonales dans un N-gon
    • Somme des Nièmes racines de l’unité
    • Relations de Napoléon
    • Distance entre l’Orthocentre et le Circumcenter
    • Deux propriétés des triangles de flanc -. Une preuve avec des nombres complexes
    • Réciprocité du point milieu dans la configuration de Napoléon
    • Orthocentre dans le plan complexe

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