Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych ma dwa rozwiązania, zwane korzeniami. Te dwa rozwiązania mogą, ale nie muszą być różne i mogą, ale nie muszą być rzeczywiste.
Faktoryzacja przez inspekcjęEdit
Może być możliwe wyrażenie równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 jako iloczynu (px + q)(rx + s) = 0. W niektórych przypadkach możliwe jest, przez prostą inspekcję, określenie wartości p, q, r i s, które czynią te dwie formy równoważnymi sobie. Jeśli równanie kwadratowe jest zapisane w drugiej postaci, wtedy „własność czynnika zerowego” mówi, że równanie kwadratowe jest spełnione, jeśli px + q = 0 lub rx + s = 0. Rozwiązanie tych dwóch równań liniowych daje korzenie kwadratu.
Dla większości studentów faktoryzacja przez inspekcję jest pierwszą metodą rozwiązywania równań kwadratowych, z którą się zetknęli.Jeśli dane jest równanie kwadratowe w postaci x2 + bx + c = 0, szukana faktoryzacja ma postać (x + q)(x + s) i trzeba znaleźć dwie liczby q i s, które sumują się do b i których iloczynem jest c (jest to czasami nazywane „regułą Vieta” i jest związane ze wzorami Vieta). Na przykład, x2 + 5x + 6 faktoryzuje jako (x + 3)(x + 2). Bardziej ogólny przypadek, gdy a nie jest równe 1 może wymagać znacznego wysiłku w próbach i błędach zgadywania i sprawdzania, zakładając, że może być w ogóle faktoryzowane przez inspekcję.
Z wyjątkiem szczególnych przypadków, takich jak gdzie b = 0 lub c = 0, faktoryzacja przez inspekcję działa tylko dla równań kwadratowych, które mają racjonalne korzenie. Oznacza to, że zdecydowana większość równań kwadratowych, które pojawiają się w praktycznych zastosowaniach, nie może być rozwiązana przez faktoryzację przez sprawdzanie.:207
Uzupełnianie kwadratuEdit
Proces dopełniania do kwadratu wykorzystuje tożsamość algebraiczną
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {{displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
która reprezentuje dobrze zdefiniowany algorytm, który może być użyty do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.207 Zaczynając od równania kwadratowego w postaci standardowej, ax2 + bx + c = 0
- Podziel każdą stronę przez a, współczynnik pierwiastka podniesionego do kwadratu.
- Odejmij stały pierwiastek c/a od obu stron.
- Dodaj kwadrat połowy b/a, współczynnik x, do obu stron. To „uzupełnia kwadrat”, przekształcając lewą stronę w doskonały kwadrat.
- Zapisz lewą stronę jako kwadrat i uprość prawą stronę, jeśli to konieczne.
- Prowadź dwa równania liniowe przez zrównanie pierwiastka kwadratowego lewej strony z dodatnimi i ujemnymi pierwiastkami kwadratowymi prawej strony.
- Rozwiąż każde z dwóch równań liniowych.
Zilustrujemy użycie tego algorytmu, rozwiązując 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {przykład 1)x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {{displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {przykład 3)x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {displaystyle 4)\\ lewa(x+1prawa)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {{displaystyle 5)∗ x+1= 3 {{sqrt {3}}}
6 ) x = – 1 ± 3 {{displaystyle 6)x+1=pm {{sqrt {3}}}
Symbol plus-minus „±” wskazuje, że zarówno x = -1 + √3 jak i x = -1 – √3 są rozwiązaniami równania kwadratowego.
Wzór na kwadrat i jego wyprowadzenieEdit
Złożenia kwadratu można użyć do wyprowadzenia ogólnego wzoru na rozwiązywanie równań kwadratowych, zwanego wzorem na kwadrat. Dowód matematyczny zostanie teraz krótko streszczony. Można łatwo zauważyć, poprzez rozwinięcie wielomianu, że następujące równanie jest równoważne równaniu kwadratowemu:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . ^{displaystyle ^left(x+{frac {b}{2a}}}right)^{2}={{frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Branie pierwiastków kwadratowych z obu stron i wyodrębnienie x daje:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {displaystyle x={frac {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Niektóre źródła, szczególnie te starsze, używają alternatywnych parametryzacji równania kwadratowego, takich jak ax2 + 2bx + c = 0 lub ax2 – 2bx + c = 0 , gdzie b ma wielkość o połowę mniejszą niż częściej spotykana, ewentualnie z przeciwnym znakiem. Wynikają z nich nieco inne formy rozwiązania, ale poza tym są równoważne.
W literaturze można znaleźć wiele alternatywnych pochodnych. Dowody te są prostsze niż standardowa metoda uzupełniania kwadratu, stanowią ciekawe zastosowania innych często używanych technik w algebrze lub oferują wgląd w inne dziedziny matematyki.
Mniej znany wzór na kwadrat, używany w metodzie Mullera, dostarcza tych samych korzeni poprzez równanie
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {{displaystyle x={frac {2c}{-b}qrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Można to wydedukować ze standardowej formuły kwadratowej za pomocą wzorów Vieta, które twierdzą, że iloczyn korzeni jest c/a.
Jedną z własności tej formy jest to, że daje ona jeden ważny korzeń, gdy a = 0, podczas gdy drugi korzeń zawiera podział przez zero, ponieważ gdy a = 0, równanie kwadratowe staje się równaniem liniowym, które ma jeden korzeń. Dla kontrastu, w tym przypadku bardziej powszechny wzór ma podział przez zero dla jednego korzenia i nieokreśloną formę 0/0 dla drugiego korzenia. Z drugiej strony, gdy c = 0, bardziej powszechna formuła daje dwa poprawne korzenie, podczas gdy ta forma daje korzeń zerowy i nieokreśloną formę 0/0.
Zredukowane równanie kwadratoweEdit
Czasami wygodnie jest zredukować równanie kwadratowe tak, aby jego wiodący współczynnik wynosił jeden. Robi się to dzieląc obie strony przez a, co jest zawsze możliwe, ponieważ a jest niezerowe. W ten sposób otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe:
x 2 + p x + q = 0 , {{displaystyle x^{2}+px+q=0,}
gdzie p = b/a i q = c/a. To równanie moniczne ma takie same rozwiązania jak oryginał.
Wzór na rozwiązania zredukowanego równania kwadratowego, zapisany w postaci jego współczynników, to:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , { {displaystyle x={frac {1}{2}}}left(-p {sqrt {p^{2}-4q}}}right),}
lub równoważnie:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {{displaystyle x=-{frac {p}{2}}}pm {{sqrt {{left({{frac {p}{2}}}}right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
We wzorze na kwadrat, wyrażenie znajdujące się pod znakiem pierwiastka kwadratowego nazywane jest wyróżnikiem równania kwadratowego i często jest przedstawiane za pomocą dużej litery D lub dużej greckiej delty:
Δ = b 2 – 4 a c . {Delta =b^{2}-4ac.}
Równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych może mieć albo jeden, albo dwa wyraźne korzenie rzeczywiste, albo dwa wyraźne korzenie złożone. W tym przypadku wyróżnik określa liczbę i charakter korzeni. Istnieją trzy przypadki:
- Jeżeli wyróżnik jest dodatni, to istnieją dwa odrębne korzenie
– b + Δ 2 a oraz – b – Δ 2 a , {{displaystyle {{frac {-b+{sqrt {{Delta }}}{2a}}}quad {{text{and}}quad {{frac {-b-{sqrt {{Delta }}}{2a}}},}
z których oba są liczbami rzeczywistymi. W przypadku równań kwadratowych o współczynnikach racjonalnych, jeśli wyróżnik jest liczbą kwadratową, to pierwiastki są racjonalne – w innych przypadkach mogą to być irracjonały kwadratowe.
- Jeśli wyróżnik jest równy zero, to istnieje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty
– b 2 a , {{displaystyle -{frac {b}{2a}}},}
czasami nazywany pierwiastkiem powtórzonym lub podwójnym.
- Jeżeli wyróżnik jest ujemny, to nie ma prawdziwych korzeni. Istnieją raczej dwa odrębne (nierzeczywiste) korzenie złożone
– b 2 a + i – Δ 2 a oraz – b 2 a – i – Δ 2 a , {i – b 2 a – i – Δ 2 a ,
które są wzajemnie sprzężone. W tych wyrażeniach i jest jednostką urojoną.
Tak więc korzenie są różne wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest niezerowy, a korzenie są rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest nieujemny.
Interpretacja geometrycznaEdit
- Roots and y-intercept in red
- Vertex and axis of symmetry in blue
- Focus and directrix in pink
Funkcja f(x) = ax2 + bx + c jest funkcją kwadratową. Wykres każdej funkcji kwadratowej ma taki sam ogólny kształt, który nazywamy parabolą. Położenie i wielkość paraboli oraz sposób jej otwierania się zależą od wartości a, b i c. Jak pokazano na rysunku 1, jeśli a > 0, parabola ma punkt minimalny i otwiera się ku górze. Jeśli a < 0, parabola ma punkt maksymalny i otwiera się w dół. Punkt skrajny paraboli, niezależnie od tego, czy jest to punkt minimalny czy maksymalny, odpowiada jej wierzchołkowi. Współrzędna x wierzchołka będzie znajdować się w punkcie x = – b 2 a {{displaystyle \scriptstyle x={tfrac {-b}{2a}}}
, a współrzędną y wierzchołka można znaleźć, podstawiając tę wartość x do funkcji. Punkt przecięcia y znajduje się w punkcie (0, c).
Rozwiązania równania kwadratowego ax2 + bx + c = 0 odpowiadają korzeniom funkcji f(x) = ax2 + bx + c, ponieważ są to wartości x, dla których f(x) = 0. Jak pokazano na rysunku 2, jeśli a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a dziedziną f jest zbiór liczb rzeczywistych, to korzenie f są dokładnie współrzędnymi x punktów, w których wykres styka się z osią x. Jak pokazano na rysunku 3, jeśli wyróżnik jest dodatni, to wykres dotyka osi x w dwóch punktach; jeśli zerowy, to wykres dotyka w jednym punkcie; a jeśli ujemny, to wykres nie dotyka osi x.
Faktoryzacja czworokątówEdit
Wyraz
x – r {{{playstyle x-r}}
jest czynnikiem wielomianu
a x 2 + b x + c {displaystyle ax^{2}+bx+c}
wtedy i tylko wtedy, gdy r jest pierwiastkiem równania kwadratowego
a x 2 + b x + c = 0. {displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Z wzoru na równanie kwadratowe wynika, że
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {{displaystyle ax^{2}+bx+c=a lewa strona(x-{frac {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}prawa)}.
W szczególnym przypadku b2 = 4ac, gdy kwadratura ma tylko jeden wyraźny pierwiastek (tzn. wyróżnik jest równy zero), wielomian kwadratowy można przedstawić w postaci
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Rozwiązanie graficzneEdit
Rozwiązania równania kwadratowego
a x 2 + b x + c = 0 {rozwiązanie ax^{2}+bx+c=0}
można wywnioskować z wykresu funkcji kwadratowej
y = a x 2 + b x + c , {displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
która jest parabolą.
Jeżeli parabola przecina oś x w dwóch punktach, to istnieją dwa rzeczywiste korzenie, które są współrzędnymi x tych dwóch punktów (nazywane też punktem przecięcia x).
Jeżeli parabola jest styczna do osi x, istnieje korzeń podwójny, który jest współrzędną x punktu styczności wykresu i paraboli.
Jeżeli parabola nie przecina osi x, istnieją dwa złożone korzenie sprzężone. Chociaż korzeni tych nie można zobaczyć na wykresie, można zobaczyć ich część rzeczywistą i urojoną.
Niech h i k będą odpowiednio współrzędną x i współrzędną y wierzchołka paraboli (czyli punktu o maksymalnej lub minimalnej współrzędnej y). Funkcję kwadratową można zapisać w postaci
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Niech d będzie odległością między punktem o współrzędnej y 2k na osi paraboli, a punktem na paraboli o tej samej współrzędnej y (patrz rysunek; są dwa takie punkty, które dają tę samą odległość, ze względu na symetrię paraboli). Wtedy część rzeczywista pierwiastków wynosi h, a ich część urojona ±d. Czyli korzeniami są
h + i d oraz x – i d , {{displaystyle h+id}quad {{text{and}}quad x-id,}
lub w przypadku przykładu z rysunku
5 + 3 i oraz 5 – 3 i . {W przypadku rysunku 5+3 i oraz 5 – 3 i .
Unikanie utraty znaczeniaEdit
Chociaż wzór kwadratowy zapewnia dokładne rozwiązanie, wynik nie jest dokładny, jeśli liczby rzeczywiste są przybliżane podczas obliczeń, jak zwykle w analizie numerycznej, gdzie liczby rzeczywiste są przybliżane przez liczby zmiennoprzecinkowe (zwane „reals” w wielu językach programowania). W tym kontekście wzór kwadratowy nie jest całkowicie stabilny.
Ma to miejsce, gdy korzenie mają różne rzędy wielkości, lub, równoważnie, gdy b2 i b2 – 4ac są bliskie w wielkości. W tym przypadku, odejmowanie dwóch prawie równych liczb spowoduje utratę znaczenia lub katastrofalne anulowanie w mniejszym korzeniu. Aby tego uniknąć, korzeń, który jest mniejszy pod względem wielkości, r, może być obliczony jako ( c / a ) / R {{displaystyle (c/a)/R}}.
gdzie R jest korzeniem, który jest większy pod względem wielkości.
Druga forma anulowania może wystąpić między warunkami b2 i 4ac wyróżnika, to jest, gdy dwa korzenie są bardzo blisko. Może to prowadzić do utraty nawet połowy prawidłowych cyfr znaczących w korzeniach.