En kvadratisk ekvation med reella eller komplexa koefficienter har två lösningar, som kallas rötter. Dessa två lösningar kan vara distinkta eller inte, och de kan vara reella eller inte.
Faktorisering genom inspektionRedigera
Det kan vara möjligt att uttrycka en kvadratisk ekvation ax2 + bx + c = 0 som en produkt (px + q)(rx + s) = 0. I vissa fall är det möjligt att genom enkel inspektion bestämma värden på p, q, r och s som gör att de två formerna är likvärdiga med varandra. Om den kvadratiska ekvationen är skriven i den andra formen säger ”nollfaktoregenskapen” att den kvadratiska ekvationen är uppfylld om px + q = 0 eller rx + s = 0. Genom att lösa dessa två linjära ekvationer får man fram rötterna till den kvadratiska ekvationen.
För de flesta elever är faktorisering genom inspektion den första metod för att lösa kvadratiska ekvationer som de får ta del av.:202-207 Om man får en kvadratisk ekvation i formen x2 + bx + c = 0 har den sökta faktoriseringen formen (x + q)(x + s), och man måste hitta två tal q och s som summerar till b och vars produkt är c (detta kallas ibland ”Vietas regel” och är relaterat till Vietas formler). Som exempel kan nämnas att x2 + 5x + 6 faktoriseras som (x + 3)(x + 2). Det mer allmänna fallet där a inte är lika med 1 kan kräva en avsevärd ansträngning i trial and error guess-and-check, om man antar att det överhuvudtaget kan faktoriseras genom inspektion.
Med undantag för specialfall, t.ex. där b = 0 eller c = 0, fungerar faktorisering genom inspektion endast för kvadratiska ekvationer som har rationella rötter. Detta innebär att den stora majoriteten av de kvadratiska ekvationer som uppstår i praktiska tillämpningar inte kan lösas genom faktorisering genom inspektion.:207
Komplettera kvadratenRedigera
Processen att komplettera kvadraten använder sig av den algebraiska identiteten
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
som representerar en väldefinierad algoritm som kan användas för att lösa alla kvadratiska ekvationer.:207 Börja med en kvadratisk ekvation i standardform, ax2 + bx + c = 0
- Divider varje sida med a, koefficienten för den kvadrerade termen.
- Subtraherar den konstanta termen c/a från båda sidor.
- Lägger till kvadraten på halva b/a, koefficienten för x, på båda sidor. Detta ”kompletterar kvadraten”, vilket omvandlar den vänstra sidan till en perfekt kvadrat.
- Skriv den vänstra sidan som en kvadrat och förenkla den högra sidan om det behövs.
- Förbered två linjära ekvationer genom att sätta likhetstecken mellan kvadratroten av den vänstra sidan och de positiva och negativa kvadratrötterna av den högra sidan.
- Lös var och en av de två linjära ekvationerna.
Vi illustrerar användningen av denna algoritm genom att lösa 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\\left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}}
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}}
Plus-minus-symbolen ”±” anger att både x = -1 + √3 och x = -1 – √3 är lösningar till den kvadratiska ekvationen.
Kvadratisk formel och dess härledningRedigera
Fullständigheten av kvadraten kan användas för att härleda en allmän formel för att lösa kvadratiska ekvationer, kallad den kvadratiska formeln. Det matematiska beviset kommer nu att kortfattat sammanfattas. Man kan lätt se, genom polynomiell expansion, att följande ekvation är likvärdig med den kvadratiska ekvationen:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Tar man kvadratroten av båda sidorna och isolerar x får man:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}
Vissa källor, särskilt äldre, använder alternativa parametriseringar av den kvadratiska ekvationen såsom ax2 + 2bx + c = 0 eller ax2 – 2bx + c = 0 , där b har en storlek som är hälften så stor som den vanligare, eventuellt med motsatt tecken. Dessa resulterar i något olika former för lösningen, men är i övrigt likvärdiga.
Ett antal alternativa härledningar finns i litteraturen. Dessa bevis är enklare än standardmetoden att komplettera kvadraten, representerar intressanta tillämpningar av andra ofta använda tekniker inom algebra, eller ger insikt i andra områden inom matematiken.
En mindre känd kvadratisk formel, som används i Mullers metod ger samma rötter via ekvationen
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Detta kan härledas från den vanliga kvadratiska formeln med hjälp av Vietas formler, som hävdar att produkten av rötterna är c/a.
En egenskap hos denna form är att den ger en giltig rot när a = 0, medan den andra roten innehåller en division med noll, eftersom den kvadratiska ekvationen blir en linjär ekvation när a = 0, som har en rot. Däremot har den vanligare formeln i detta fall en division med noll för den ena roten och en obestämd form 0/0 för den andra roten. Å andra sidan, när c = 0, ger den vanligare formeln två korrekta rötter medan denna form ger nollroten och en obestämd form 0/0.
Reducerad kvadratisk ekvationRedigera
Det är ibland lämpligt att reducera en kvadratisk ekvation så att den ledande koefficienten är en. Detta görs genom att dividera båda sidorna med a, vilket alltid är möjligt eftersom a inte är noll. Detta ger den reducerade kvadratiska ekvationen:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
där p = b/a och q = c/a. Denna moniska ekvation har samma lösningar som den ursprungliga.
Den kvadratiska formeln för lösningarna till den reducerade kvadratiska ekvationen, skriven i termer av dess koefficienter, är:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}\left(-p\pm {\sqrt {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right),}
eller likvärdigt:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}}\right)^{2}-q}}}.}
DiscriminantEdit
I den kvadratiska formeln kallas uttrycket under kvadratrotstecknet för den kvadratiska ekvationens diskriminant och representeras ofta med ett stort D eller ett stort grekiskt delta:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
En kvadratisk ekvation med reella koefficienter kan ha antingen en eller två distinkta reella rötter, eller två distinkta komplexa rötter. I detta fall bestämmer diskriminanten antalet och arten av rötterna. Det finns tre fall:
- Om diskriminanten är positiv finns det två distinkta rötter
– b + Δ 2 a och – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}\quad {\text{and}}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}},}
som båda är verkliga tal. För kvadratiska ekvationer med rationella koefficienter gäller att om diskriminanten är ett kvadrattal är rötterna rationella – i andra fall kan de vara kvadratiska irrationella.
- Om diskriminanten är noll finns det exakt en reell rot
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}},}
som ibland kallas upprepad eller dubbel rot.
- Om diskriminanten är negativ finns det inga verkliga rötter. I stället finns det två distinkta (icke-reella) komplexa rötter
– b 2 a + i – Δ 2 a och – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}}\quad {\text{and}}}\quad -{\frac {b}{2a}}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}},}
som är komplexa konjugater av varandra. I dessa uttryck är i den imaginära enheten.
Därmed är rötterna distinkta om och endast om diskriminanten är icke-noll, och rötterna är reella om och endast om diskriminanten är icke-negativ.
Geometrisk tolkningRedigera
- Rötter och y-intercept i rött
- Spets och symmetriaxel i blått
- Fokus och riktlinje i rosa
Funktionen f(x) = ax2 + bx + c är en kvadratisk funktion. Grafen för alla kvadratiska funktioner har samma allmänna form, som kallas för en parabel. Parabelns läge och storlek, och hur den öppnar sig, beror på värdena för a, b och c. Som visas i figur 1, om a > 0, har parabeln en minimipunkt och öppnar sig uppåt. Om a < 0 har parabeln en maximal punkt och öppnas nedåt. Parabelns extrempunkt, oavsett om den är minimal eller maximal, motsvarar dess toppunkt. Toppens x-koordinat ligger vid x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}}
, och toppens y-koordinat kan hittas genom att substituera detta x-värde i funktionen. Y-interceptet ligger i punkten (0, c).
Lösningarna till den kvadratiska ekvationen ax2 + bx + c = 0 motsvarar rötterna till funktionen f(x) = ax2 + bx + c, eftersom de är de värden på x för vilka f(x) = 0. Som framgår av figur 2, om a, b och c är reella tal och f:s domän är mängden reella tal, är rötterna till f exakt x-koordinaterna till de punkter där grafen berör x-axeln. Som visas i figur 3, om diskriminanten är positiv rör grafen x-axeln i två punkter; om den är noll rör grafen i en punkt; och om den är negativ rör grafen inte x-axeln.
Kvadratisk faktoriseringRedigera
Termen
x – r {\displaystyle x-r}
är en faktor av polynomet
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
om och endast om r är en rot i den kvadratiska ekvationen
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Det följer av den kvadratiska formeln att
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}
I specialfallet b2 = 4ac där kvadraten endast har en distinkt rot (dvs. diskriminanten är noll) kan det kvadratiska polynomet faktoriseras som
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Grafisk lösningRedigera
Lösningarna till den kvadratiska ekvationen
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
kan härledas från grafen för den kvadratiska funktionen
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
som är en parabel.
Om parabeln skär x-axeln i två punkter finns det två reella rötter, som är x-koordinaterna för dessa två punkter (även kallade x-intercept).
Om parabeln tangerar x-axeln finns det en dubbelrot, som är x-koordinaten för kontaktpunkten mellan grafen och parabeln.
Om parabeln inte skär x-axeln finns det två komplexa konjugerade rötter. Även om dessa rötter inte kan visualiseras på grafen kan deras reella och imaginära delar visualiseras.
Låt h och k vara x-koordinaten respektive y-koordinaten för parabelns hörnpunkt (det vill säga den punkt som har maximal eller minimal y-koordinat). Den kvadratiska funktionen kan skrivas om
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Låt d vara avståndet mellan punkten med y-koordinaten 2k på parabelns axel och en punkt på parabeln med samma y-koordinat (se figuren; det finns två sådana punkter som ger samma avstånd på grund av parabelns symmetri). Då är den reella delen av rötterna h, och deras imaginära del är ±d. Det vill säga, rötterna är
h + i d och x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{and}}}\quad x-id,}
eller i fallet med exemplet i figuren
5 + 3 i och 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}}\quad 5-3i.}
Undvika förlust av signifikansRedigera
Och även om den kvadratiska formeln ger en exakt lösning är resultatet inte exakt om reella tal approximeras under beräkningen, vilket är vanligt i numerisk analys, där reella tal approximeras av flyttalstal (kallade ”reals” i många programmeringsspråk). I detta sammanhang är den kvadratiska formeln inte helt stabil.
Detta inträffar när rötterna har olika storleksordning, eller motsvarande, när b2 och b2 – 4ac ligger nära varandra i storleksordning. I detta fall kommer subtraktionen av två nästan lika stora tal att orsaka förlust av betydelse eller katastrofal annullering i den mindre roten. För att undvika detta kan den rot som är mindre i storlek, r, beräknas som ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}
där R är den rot som är större i storlek.
En andra form av annullering kan uppstå mellan termerna b2 och 4ac i diskriminanten, det vill säga när de två rötterna ligger mycket nära varandra. Detta kan leda till att upp till hälften av de korrekta signifikanta siffrorna i rötterna går förlorade.