Studiul numerelor vine de obicei pe rând. Copiii încep cu numerele de numărat. Treceți la numerele întregi negative și la fracții. Sapă în fracțiile zecimale și, uneori, continuă cu numerele reale. Numerele complexe vin la urmă, dacă vin deloc. Fiecare extindere a noțiunii de numere are o explicație practică valabilă.
Numele negativ a fost necesar pentru a rezolva a + x = b, chiar și atunci când a > b. Fracțiile au ajutat la rezolvarea ax = b, atunci când b nu era divizibil cu a. Realizarea existenței numerelor reale a fost un răspuns la nevoia de a rezolva x² = 2. Și, în cele din urmă, numerele complexe au apărut atunci când evoluția matematicii a condus la ecuația de neconceput x² = -1. Toate la timpul potrivit.
Realitatea istorică a fost mult prea diferită. Oricât de ciudat și ilogic ar părea, dezvoltarea și acceptarea numerelor complexe a decurs în paralel cu dezvoltarea și acceptarea numerelor negative.
Rădăcinile pătrate ale numerelor negative au apărut în Ars Magna (1545) de Girolamo Cardano, care va lua în considerare mai multe forme de ecuații pătratice (de exemplu, x² + px = q, px – x²= q, x² = px + q) doar pentru a evita utilizarea numerelor negative. Ceea ce nu este deloc surprinzător, având în vedere faptul că instrumentele folosite de Cardano sunt descrise de obicei ca fiind algebră geometrică. Aceasta este încă în tradiția, să zicem, a lui Euclid II.5 și II.6, a lui Al-Khowarizmi , și a multor altora. Simbolistica algebrică era încă în evoluție și greoaie, iar demonstrațiile au fost geometrice.
Conflictul intern al lui Cardano este tangibil în scrierile sale. El tratează problema care în zilele noastre ar fi descrisă ca fiind rezolvarea ecuației pătratice x² – 10x + 40 = 0:
Un al doilea tip de poziție falsă face uz de rădăcini ale numerelor negative. Voi da un exemplu: Dacă cineva vă spune: împărțiți 10 în două părți, dintre care una înmulțită cu cealaltă va produce 30 sau 40, este evident că acest caz sau întrebare este imposibil. Cu toate acestea, o vom rezolva în acest mod.
Mânat fie de geniu, fie de curiozitate, Cardano continuă să rezolve o întrebare imposibilă! Când manipulările algebrice conduc la o rădăcină pătrată a unui număr negativ, Cardano scrie:
… Aceasta este însă cea mai apropiată de cantitatea care este cu adevărat imaginară, deoarece cu ea nu se pot efectua operații ca cu un număr negativ pur, nici ca în cazul altor numere. … Această subtilitate rezultă din aritmetica al cărei punct final este, așa cum am spus, pe cât de subtil pe atât de inutil.
Următorul pas în adoptarea numerelor complexe a fost făcut de Rafael Bombelli în Algebra sa (1572). El se simțea de departe mult mai confortabil în preajma numerelor negative și a anunțat regulile de manipulare a mărimilor cu semn:
Plus ori plus face plus
Minus ori minus face plus
Mai mult ori minus face minus
Minus ori plus face minus.
În legătură cu numerele complexe a scris
… Acest tip de rădăcină pătrată are operații aritmetice diferite de celelalte și o denumire diferită, … Dar o voi numi „plus din minus” atunci când trebuie să fie adunată, iar când trebuie să fie scăzută o voi numi „minus din minus”, iar această operație este cea mai necesară. … Acest lucru va părea multora mai mult artificial decât real, și eu însumi am avut aceeași părere, până când am găsit demonstrația geometrică …
În continuare, el oferă regulile înmulțirii:
Mai mult de minus înmulțit cu plus de minus face minus
Mai mult de minus înmulțit cu minus de minus face plus
Minus de minus înmulțit cu plus de minus face plus
Minus de minus înmulțit cu minus de minus face minus.
Cu toate acestea, atunci când rezolva ecuații cubice cu trei rădăcini reale, el omitea rădăcinile negative , continuând să nu le considere pe cele negative ca soluție.
John Wallis (1616-1703), care a dat prima interpretare geometrică a numerelor complexe, avea o convingere ciudată că numerele negative erau mai mari decât infinitul, dar nu mai mici decât 0 . Această credință a fost împărtășită de L. Euler. Euler, care a folosit extensiv numerele complexe, care a introdus i ca simbol pentru √-1 și a legat funcțiile exponențială și trigonometrică în celebra formulă
eit = cos(t) + i-sin(t),
a scris în Introducere în algebră
Pentru că toate numerele imaginabile sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât 0 sau egale cu 0, atunci este clar că rădăcinile pătrate ale numerelor negative nu pot fi incluse printre numerele posibile . În consecință, trebuie să spunem că acestea sunt numere imposibile. Și această împrejurare ne conduce la conceptul de astfel de numere, care prin natura lor sunt imposibile și care, în mod obișnuit, sunt numite numere imaginare sau închipuite, deoarece ele există doar în imaginație.
(Apropo, nefericitul termen imaginar cu exact o astfel de conotație a fost inventat de Descartes. Tot el a numit false rădăcinile negative ale unei ecuații care, din fericire, nu s-au lipit). Jean Le Rond d’Alembert, în Encyclopédie (1751 – 1772), a trecut în întregime peste complexe și a scris ambiguu despre numerele negative
… regulile algebrice de operare cu numere negative sunt în general admise de toată lumea și recunoscute ca fiind exacte, oricare ar fi ideea pe care o avem despre aceste mărimi.
Interpretarea geometrică modernă a numerelor complexe a fost dată de Caspar Wessel (1745-1818), un topograf norvegian, în 1797. Lucrarea sa a rămas practic necunoscută până la apariția traducerii franceze în 1897. El a observat în mod corect că, pentru a acomoda numerele complexe, trebuie să se renunțe la linia celor două direcții :
… direcția nu este un subiect pentru algebră decât în măsura în care poate fi modificată prin operații algebrice. Dar din moment ce acestea nu pot schimba direcția (cel puțin, așa cum este explicat în mod obișnuit) decât spre opusul ei, adică de la pozitiv la negativ sau invers, acestea sunt singurele direcții pe care ar trebui să fie posibil să le desemneze…
Nu este o cerință nerezonabilă ca operațiile folosite în geometrie să fie luate într-un sens mai larg decât cel care le este dat în aritmetică.
Wessel tratează numerele complexe ca vectori (fără a folosi acest termen) și derivă majoritatea proprietăților lor, inclusiv, să zicem, înmulțirea în forma trigonometrică, fără a o desemna pe aceasta din urmă ca fiind algebrică.
Gauss, care a dat o demonstrație a Teoremei fundamentale a algebrei în 1799, a considerat (1825) că „adevărata metafizică a lui √-1 este iluzorie”. El și-a depășit îndoielile până în 1831 cu aplicarea numerelor complexe la Teoria numerelor, ceea ce a dat un impuls extraordinar acceptării numerelor complexe în comunitatea matematică. Cu toate acestea, acceptarea nu a fost universală. Augustus De Morgan (1806-1871), un celebru matematician și logician a scris în 1831 :
Expresia imaginară √-a și expresia negativă -b au această asemănare, încât oricare dintre ele care apare ca soluție a unei probleme indică o anumită inconsistență sau absurditate. În ceea ce privește semnificația reală, ambele sunt la fel de imaginare, deoarece 0 – a este la fel de de neconceput ca și √-a.
Sir William Hamilton, al 9-lea baronet, (1805-1865) este responsabil pentru notația abstractă (x, y) , pe care a introdus-o în 1833. Aceasta, desigur, nu a fost încă ultimul cuvânt în evoluția înțelegerii noastre a numerelor complexe. Numerele complexe pot fi văzute ca abstracțiuni ale lui Hamilton, fie puncte sau vectori în plan, operatori vectoriali și, prin urmare, matrici de o formă specifică. Ele servesc drept bază pentru o puternică și frumoasă teorie analitică a funcțiilor, cu aplicații de la hidrodinamică la teoria numerelor. Drumul până la acceptare poate că a fost anevoios, dar, nu se poate supraestima rolul important jucat de numerele complexe în matematica modernă. După cum a spus J. Hadamard ,
Cel mai scurt drum între două adevăruri din domeniul real trece prin domeniul complex.
- H. Eves, Great Moments in Mathematics After 1650, MAA, 1983
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 1, Oxford University Press, 1972
- M. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v. 2, Oxford University Press, 1972
- F. La Nave, Deductive Narrative and Epistemological Function of Belief in Mathematics: On Bombelli and Imaginary Numbers, în Circles Disturbed, A. Doxiadis, B. Mazur (eds), Princeton University Press, 2012
- D. E. Smith, History of Mathematics, Dover, 1968
- D. E. Smith, A Source Book in Mathematics, Dover, 1959
- F. J. J. Swetz, De la cinci degete la infinit, Open Court, 1996 (a 3-a tipărire)
Numerele complexe
- Structura algebrică a numerelor complexe
- Diviziunea numerelor complexe
- Identități utile între numerele complexe
- Inegalități utile între numerele complexe
- Forma trigonometrică a numerelor complexe
- Forma reală și complexă Products of Complex Numbers
- Complex Numbers and Geometry
- Central and Inscribed Angles in Complex Numbers
- Plane Isometries As Complex Functions
- Remarks on the History of Complex Numbers
- First Geometric Interpretation of Negative and Complex Numbers
- Complex Numbers: an Interactive Gizmo
- Sistemul de coordonate carteziene
- Teorema fundamentală a algebrei
- Numărul complex la o putere complexă poate fi real
- Nu se pot compara două numere complexe
- Sfera lui Riemann și transformarea lui Möbius
- Probleme
- Produs de diagonale în numere regulate N-.gon
- Suma rădăcinilor a N-a ale unității
- Relațiile lui Napoleon
- Distanța dintre ortocentru și circumcentru
- Două proprietăți ale triunghiurilor de flanc – O demonstrație cu ajutorul numerelor complexe
- Reciprocitatea punctului median în configurația lui Napoleon
- Ortocentrul în planul complex
.
|Contact|||Prima pagină|||Contenit|||Algebră|
.