O ecuație pătratică cu coeficienți reali sau complecși are două soluții, numite rădăcini. Aceste două soluții pot fi sau nu pot fi distincte și pot fi sau nu reale.
Factorizare prin inspecțieEdit
Este posibil să se exprime o ecuație pătratică ax2 + bx + c = 0 ca produs (px + q)(rx + s) = 0. În unele cazuri, este posibil, prin simplă inspecție, să se determine valorile lui p, q, r și s care fac ca cele două forme să fie echivalente una cu cealaltă. Dacă ecuația pătratică este scrisă în cea de-a doua formă, atunci „Proprietatea factorului zero” afirmă că ecuația pătratică este satisfăcută dacă px + q = 0 sau rx + s = 0. Rezolvarea acestor două ecuații liniare furnizează rădăcinile ecuației pătratice.
Pentru majoritatea elevilor, factorizarea prin inspecție este prima metodă de rezolvare a ecuațiilor pătratice la care sunt expuși.:202-207 Dacă se dă o ecuație pătratică de forma x2 + bx + c = 0, factorizarea căutată are forma (x + q)(x + s) și trebuie să se găsească două numere q și s care însumează b și al căror produs este c (aceasta se numește uneori „regula lui Vieta” și este legată de formulele lui Vieta). Ca exemplu, x2 + 5x + 6 se factorizează ca (x + 3)(x + 2). Cazul mai general în care a nu este egal cu 1 poate necesita un efort considerabil de ghicire și verificare prin încercări și erori, presupunând că poate fi factorizat deloc prin inspecție.
Cu excepția unor cazuri speciale, cum ar fi cel în care b = 0 sau c = 0, factorizarea prin inspecție funcționează numai pentru ecuațiile pătratice care au rădăcini raționale. Acest lucru înseamnă că marea majoritate a ecuațiilor pătratice care apar în aplicațiile practice nu pot fi rezolvate prin factorizare prin inspecție. 207
Completarea pătratuluiEdit
Procesul de completare a pătratului face uz de identitatea algebrică
x 2 + 2 h x + h 2 = ( x + h ) 2 , {\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}
care reprezintă un algoritm bine definit ce poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.:207 Pornind de la o ecuație pătratică în formă standard, ax2 + bx + c = 0
- Divizați fiecare latură cu a, coeficientul termenului pătrat.
- Suprimați termenul constant c/a din ambele părți.
- Adaugați pătratul jumătății lui b/a, coeficientul lui x, la ambele părți. Acest lucru „completează pătratul”, transformând partea stângă într-un pătrat perfect.
- Scrieți partea stângă ca un pătrat și simplificați partea dreaptă dacă este necesar.
- Produceți două ecuații liniare prin echivalarea rădăcinii pătrate a părții stângi cu rădăcinile pătrate pozitive și negative ale părții drepte.
- Solvați fiecare dintre cele două ecuații liniare.
Ilustrăm utilizarea acestui algoritm prin rezolvarea 2×2 + 4x – 4 = 0
1 ) x 2 + 2 x – 2 = 0 {\displaystyle 1)\ x^{2}+2x-2=0}.
2 ) x 2 + 2 x = 2 {\displaystyle 2)\ x^{2}+2x=2}
3 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 + 1 {\displaystyle 3)\ x^{2}+2x+1=2+1}
4 ) ( x + 1 ) 2 = 3 {\displaystyle 4)\ \left(x+1\right)^{2}=3}
5 ) x + 1 = ± 3 {\displaystyle 5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}}.
6 ) x = – 1 ± 3 {\displaystyle 6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}}.
Simbolul plus-minus „±” indică faptul că atât x = -1 + √3 cât și x = -1 – √3 sunt soluții ale ecuației pătratice.
Formula pătratică și derivarea eiEdit
Completarea pătratului poate fi folosită pentru a deriva o formulă generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, numită formula pătratică. Demonstrația matematică va fi acum rezumată pe scurt. Se poate observa cu ușurință, prin expansiune polinomială, că următoarea ecuație este echivalentă cu ecuația pătratică:
( x + b 2 a ) 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 . {\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}
Căutând rădăcina pătrată a ambelor părți și izolând x, se obține:
x = – b ± b 2 – 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.
Câteva surse, în special cele mai vechi, folosesc parametrizări alternative ale ecuației pătratice, cum ar fi ax2 + 2bx + c = 0 sau ax2 – 2bx + c = 0 , unde b are o mărime la jumătate din cea mai comună, eventual cu semn opus. Acestea au ca rezultat forme ușor diferite pentru soluție, dar în rest sunt echivalente.
În literatura de specialitate pot fi găsite o serie de derivări alternative. Aceste demonstrații sunt mai simple decât metoda standard de completare a pătratului, reprezintă aplicații interesante ale altor tehnici utilizate frecvent în algebră sau oferă o perspectivă în alte domenii ale matematicii.
O formulă pătratică mai puțin cunoscută, așa cum este utilizată în metoda lui Muller, oferă aceleași rădăcini prin intermediul ecuației
x = 2 c – b ± b 2 – 4 a c . {\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}
Aceasta se poate deduce din formula pătratică standard prin formulele lui Vieta, care afirmă că produsul rădăcinilor este c/a.
O proprietate a acestei forme este că dă o rădăcină validă când a = 0, în timp ce cealaltă rădăcină conține diviziunea cu zero, deoarece când a = 0, ecuația pătratică devine o ecuație liniară, care are o singură rădăcină. În schimb, în acest caz, formula mai obișnuită are o diviziune cu zero pentru o rădăcină și o formă nedeterminată 0/0 pentru cealaltă rădăcină. Pe de altă parte, când c = 0, formula mai obișnuită dă două rădăcini corecte, în timp ce această formă dă rădăcina zero și o formă nedeterminată 0/0.
Ecuație pătratică redusăEdit
Este uneori convenabil să se reducă o ecuație pătratică astfel încât coeficientul său principal să fie unul. Acest lucru se face prin împărțirea ambelor părți la a, ceea ce este întotdeauna posibil, deoarece a este diferit de zero. Se obține astfel ecuația pătratică redusă:
x 2 + p x + q = 0 , {\displaystyle x^{2}+px+q=0,}
unde p = b/a și q = c/a. Această ecuație monică are aceleași soluții ca și cea originală.
Formula pătratică pentru soluțiile ecuației pătratice reduse, scrisă în funcție de coeficienții ei, este:
Formula pătratică pentru soluțiile ecuației pătratice reduse, scrisă în funcție de coeficienții ei, este:
:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) , {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),}
sau în mod echivalent:
x = – p 2 ± ( p 2 ) 2 – q . {\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}
DiscriminantEdit
În formula pătratică, expresia de sub semnul rădăcinii pătrate se numește discriminantul ecuației pătratice și este adesea reprezentată folosind un D majuscul sau un delta grecesc majuscul:
Δ = b 2 – 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}
O ecuație pătratică cu coeficienți reali poate avea fie una sau două rădăcini reale distincte, fie două rădăcini complexe distincte. În acest caz, discriminantul determină numărul și natura rădăcinilor. Există trei cazuri:
- Dacă discriminantul este pozitiv, atunci există două rădăcini distincte
– b + Δ 2 a și – b – Δ 2 a , {\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}}{2a}}\quad {\text{și}}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}
ambele fiind numere reale. Pentru ecuațiile pătratice cu coeficienți raționali, dacă discriminantul este un număr pătrat, atunci rădăcinile sunt raționale – în alte cazuri, ele pot fi iraționale pătratice iraționale.
- Dacă discriminantul este zero, atunci există exact o rădăcină reală
– b 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}
uneori numită rădăcină repetată sau dublă.
- Dacă discriminantul este negativ, atunci nu există rădăcini reale. Mai degrabă, există două rădăcini complexe distincte (nereale)
– b 2 a + i – Δ 2 a și – b 2 a – i – Δ 2 a , {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{și}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}}{2a}},}
care sunt conjugate complexe una față de cealaltă. În aceste expresii i este unitatea imaginară.
Astfel, rădăcinile sunt distincte dacă și numai dacă discriminantul este diferit de zero, iar rădăcinile sunt reale dacă și numai dacă discriminantul este nenultiv.
Interpretarea geometricăEdit
- Rădăcinile și intersecția y în roșu
- Vertexul și axa de simetrie în albastru
- Focalizarea și axa directoare în roz
Funcția f(x) = ax2 + bx + c este o funcție pătratică. Graficul oricărei funcții pătratice are aceeași formă generală, care se numește parabolă. Locația și dimensiunea parabolei, precum și modul în care aceasta se deschide, depind de valorile lui a, b și c. După cum se arată în figura 1, dacă a > 0, parabola are un punct minim și se deschide în sus. Dacă a < 0, parabola are un punct maxim și se deschide în jos. Punctul extrem al parabolei, fie că este minim sau maxim, corespunde vârfului acesteia. Coordonata x a vârfului va fi localizată la x = – b 2 a {\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}.
, iar coordonata y a vârfului poate fi găsită prin înlocuirea acestei valori x în funcție. Intersecția y se află în punctul (0, c).
Soluțiile ecuației pătratice ax2 + bx + c = 0 corespund rădăcinilor funcției f(x) = ax2 + bx + c, deoarece acestea sunt valorile lui x pentru care f(x) = 0. După cum se arată în figura 2, dacă a, b și c sunt numere reale și domeniul lui f este ansamblul numerelor reale, atunci rădăcinile lui f sunt exact coordonatele x ale punctelor în care graficul atinge axa x. După cum se arată în figura 3, dacă discriminantul este pozitiv, graficul atinge axa x în două puncte; dacă este zero, graficul atinge într-un singur punct; iar dacă este negativ, graficul nu atinge axa x.
Factorizarea pătraticăEdit
Termenul
x – r {\displaystyle x-r}
este un factor al polinomului
a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
dacă și numai dacă r este o rădăcină a ecuației pătratice
a x 2 + b x + c = 0. {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}
Din formula pătratică rezultă că
a x 2 + b x + c = a ( x – – b + b 2 – 4 a c 2 a ) ( x – – b – b 2 – 4 a c 2 a ) . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}{2a}}\dreapta)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}{2a}}\dreapta).}
În cazul special b2 = 4ac în care pătratica are o singură rădăcină distinctă (adică discriminantul este zero), polinomul pătratic poate fi fasonat ca
a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 . {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}
Soluție graficăEdit
Soluțiile ecuației pătratice
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
pot fi deduse din graficul funcției pătratice
y = a x 2 + b x + c , {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}
care este o parabolă.
Dacă parabola intersectează axa x în două puncte, există două rădăcini reale, care sunt coordonatele x ale acestor două puncte (numite și intercepție x).
Dacă parabola este tangentă la axa x, există o rădăcină dublă, care este coordonata x a punctului de contact dintre grafic și parabolă.
Dacă parabola nu intersectează axa x, există două rădăcini conjugate complexe. Deși aceste rădăcini nu pot fi vizualizate pe grafic, părțile lor reală și imaginară pot fi.
Să fie h și k coordonatele x și, respectiv, y ale vârfului parabolei (adică punctul cu coordonata y maximă sau minimă. Funcția pătratică poate fi rescrisă
y = a ( x – h ) 2 + k . {\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}
Să fie d distanța dintre punctul de coordonată y 2k de pe axa parabolei și un punct de pe parabolă cu aceeași coordonată y (vezi figura; există două astfel de puncte, care dau aceeași distanță, din cauza simetriei parabolei). Atunci partea reală a rădăcinilor este h, iar partea lor imaginară este ±d. Adică, rădăcinile sunt
h + i d și x – i d , {\displaystyle h+id\quad {\text{și}}\quad x-id,}
sau în cazul exemplului din figură
5 + 3 i și 5 – 3 i . {\displaystyle 5+3i\quad {\text{și}}\quad 5-3i.}
Evitarea pierderii de semnificațieEdit
Deși formula pătratică oferă o soluție exactă, rezultatul nu este exact dacă numerele reale sunt aproximate în timpul calculului, așa cum se întâmplă de obicei în analiza numerică, unde numerele reale sunt aproximate prin numere cu virgulă mobilă (numite „reals” în multe limbaje de programare). În acest context, formula pătratică nu este complet stabilă.
Acest lucru se întâmplă atunci când rădăcinile au ordine de mărime diferite sau, în mod echivalent, atunci când b2 și b2 – 4ac sunt apropiate ca mărime. În acest caz, scăderea a două numere aproape egale va provoca pierderea semnificației sau anularea catastrofală a rădăcinii mai mici. Pentru a evita acest lucru, rădăcina mai mică în mărime, r, poate fi calculată ca ( c / a ) / R {\displaystyle (c/a)/R}.
unde R este rădăcina care este mai mare ca mărime.
O a doua formă de anulare poate apărea între termenii b2 și 4ac ai discriminantului, adică atunci când cele două rădăcini sunt foarte apropiate. Acest lucru poate duce la pierderea a până la jumătate din cifrele semnificative corecte în rădăcini.
.